高中數(shù)學(xué)-(32-簡單的三角恒等變換)教案-新人教a版必修4(完整版)
【正文】 inC,∴mcos=asinC.圖2同理,ncos=asinB.∴mncoscos=a2sinBsinC.而a2=2mn,∴coscos=2sinBsinC=8sin(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=1的兩個相鄰交點(diǎn)間的距離為,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωxcosωx(cosωx+1)=2(sinωxcosωx)1=2sin(ωx)1.由1≤sin(ωx)≤1,得3≤2sin(ωx)1≤1,可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1］.(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì),可知y=f(x)的周期為π,又由ω0,得=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x)1,再由2kπ≤2x≤2kπ+(k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+(k∈Z). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ,kπ+］(k∈Z). 點(diǎn)評:本題主要考查三角函數(shù)公式,三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查綜合運(yùn)用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力.例1 求函數(shù)y=sin4x+23sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值。3sinαcosα=0.∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,兩式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(2β).∵α∈(0,),∴tanα0.∴tan(2β)0.又∵β∈(0,),∴2β.結(jié)合tan(2β)0,得02β.∴由tanα=tan(2β),得α=2β,即α+2β=.例2 求證: 活動：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法.證明:證法一:左邊===右邊.∴原式成立.證法二:右邊=1===左邊.∴原式成立. 點(diǎn)評：此題進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生三角恒等式的變形,靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式的能力以及邏輯推理能力.變式訓(xùn)練:.分析：運(yùn)用比例的基本性質(zhì),可以發(fā)現(xiàn)原式等價于,此式右邊就是tan2θ.證明:原等式等價于.而上式左邊==tan2右邊.∴上式成立,即原等式得證.=mA90176。cosx與sinx177。,并稱之為半角公式(不要求記憶),符號由所在象限決定. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還有所包含的角，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，. 對于問題⑤：（1）如果從右邊出發(fā)，僅利用和（差）的正弦公式作展開合并，把兩個三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點(diǎn)作為思考的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+，sinαcosβ，必須有2個方程，這就促使學(xué)生考慮還有沒有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ后，解相應(yīng)的以sinαcosβ，cosαsinβ為未知數(shù)的二元一次方程組，就容易得到所需要的結(jié)果.（2）由（1）得到以和的形式表示的積的形式后，解決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與（1），令α+β=θ，αβ=φ，則α=，β=,代入(1)式即得(2)式.證明:(1)因?yàn)閟in(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ,將以上兩式的左右兩邊分別相加,得sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβ,即sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(αβ)].(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβ.①設(shè)α+β=θ,αβ=φ,那么α=,β=.把α,β的值代入①,即得sinθ+sinφ=2sincos. 教師給學(xué)生適時引導(dǎo)，指出這兩個方程所用到的數(shù)學(xué)思想,可以總結(jié)出在本例的證明過程中用到了換元的思想,如把α+β看作θ,αβ看作φ,從而把包含α,β的三角函數(shù)式變換成θ,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,通過解方程求得x,這就是方程思想的體現(xiàn).討論結(jié)果：①α是的二倍角.②sin2=1cos.③④⑤略(見活動）.應(yīng)用示例思路1例1 化簡:. 活動：此題考查公式的應(yīng)用，它們的功能各異，本質(zhì)相同，具有對立統(tǒng)一的關(guān)系.解:原式==tan. 點(diǎn)評：本題是對基本知識的考查，重在讓學(xué)生理解倍角公式與半角公式的內(nèi)在聯(lián)系.變式訓(xùn)練 化簡:sin50176。(2)由左式的“二次式”轉(zhuǎn)化為右式的“一次式”(即用此式可達(dá)到“降次”的目的).教師與學(xué)生一起總結(jié)出這樣的特點(diǎn),本例的結(jié)果還可表示為:sin=177。=2cos40176。cos+B.∴cos4A(1cos2B)+sin4A3sin2α+cosα(2)由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解:在Rt△OBC中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt△OAD中,=
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