第3章3柯西公式(完整版)
【正文】 都成立 證明 設 根據(jù)柯西積分公式 ()fz 在 D內(nèi) 0()gz ?根據(jù)柯西積分公式 ()gz在曲線 C上 ()f z ()g z? 都成立 0()f zz z? 0()g zz z??因此 0()fz 0()gz?解析 , 解析 , 在 D內(nèi) 解析 , D任何一條 閉曲線 , 完全包含 所有的點處 都成立 所有的點處 任何一點 , 0()fzzz? dzC?12 i?0()gzzz? dzC?12 i?所有的點 dzC?dzC?14 例 7. 設 C表示 222zz??及 ()gw ? | | 3,w ?求 (2 ),gi (4).g解 ( 2 )gi ?2()()222zz?? 4 i??(4)g ?2322( 4 )zzz??? 在 | | 3z ? 上解析 0?正向圓周： dzC?dzC?3()z w?222zz??3( 2 )z i?2zi?O 3 dzC?222zz??3( 4 )z ?? 2!2 i?||z 3?15 43頁例 . 其中 C表示 | | 1,z ?計算積分 由此證明 dzC?cose ? d?0?? ??解 zez dzC? 0z?2 i?? ze 2 i??由 | | 1z ? 得到 z? co s??上式左邊 = ???? ie?ie? di ????? ?cose ? di ?i ???? ? cose ? di ?正向圓周 [ c o s( sin )?sin ( sin ) ]i ??c os( sin )?s in( s in )sini ??zezc os si nie ???ie?sinie ????? ??2 i?????? ? cose ? di ?c os( sin )因此 cose ? d?0?? ??c os( sin )?16 例 9 設 ()fz 在 區(qū)域 D內(nèi)處處 解析 , 曲線 C為 D內(nèi)任何一條 正向 簡單閉曲線 , D C 證明 : 等式 0zz?dzC? ()fz? 20()zz?dzC? ? ()fz 成立 證明 ()fz在 D內(nèi) 解析 , ()fz? 在 D內(nèi)也 解析 , 0zz(1) 若 0z 不在 C的內(nèi)部 , 則在 C圍成的 閉 區(qū)域上 0zz? 和 20()zz? 都不等于零 , 于是 0zz?()fz?20()zz?()fz和 它們沿曲線 C的積分都 等于 零 故等式成立 在 C 的內(nèi)部 解析 對在 D內(nèi) 0z但不在 C上 的任何一點 17 例 9續(xù) 設 ()fz 在 區(qū)域 D內(nèi)處處 解析 , 曲線 C為 D內(nèi)任何一條 正向 簡單閉曲線 , D C 證明 : 對在 D內(nèi) 0z等式 0zz?dzC? ()fz? 20()zz?
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