【微積分】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(完整版)
【正文】 對應(yīng)齊次方程通解 ,s i nc o s 21 xCxCY ??作輔助方程 ,4 ixeyy ????,是單根i??? ,)(* ixix exQA x ey ??故,42 ?? Ai,2 iA ???,)co s2(s i n22* ixxxxi x ey ix ?????所求非齊次方程特解為 ,c o s2 xxy ??原方程通解為 .c o s2s i nc o s 21 xxxCxCy ???（取虛部） )()()2()( xPxQpxQ m?????? ?代入輔助方程 ,得 .2c o s 的通解求方程 xxyy ????解 對應(yīng)齊次方程通解 ,s i nc o s 21 xCxCY ??作輔助方程 ,2 ixxeyy ????,2 不是特征方程的根i???,)( 2* ixeBAxy ??設(shè) 代入輔助方程 ???????13034ABAi ,9431 iBA ????? ，,)9431( 2* ixeixy ????例 5 )2s in2) ( c o s9431( xixix ????所求非齊方程特解為 ,2s i n942c os31 xxxy ???原方程通解為 .2s in942c o s31s inc o s 21 xxxxCxCy ????,)2s in312c o s94(2s in942c o s31 ixxxxxx ?????（取實部） 注意 xAexAe xx ?? ?? s i n,c o s.)( 的實部和虛部分別是 xiAe ?? ?).2c o s(214 xxyy ?????求解方程例 6 解 特征方程 ,042 ??r特征根 ,22,1 ir ??對應(yīng)的齊方的通解為 .2s i n2c o s 21 xCxCY ??設(shè)原方程的特解為 .*2*1* yyy ??,)1( *1 baxy ??設(shè) ,)( *1 ay ??則 ,0)( *1 ???y，得代入 xyy 214 ???? ，xbax 2144 ??由 ，04 ?b，214 ?a解得 ，0?b，81?a。2s in81*2 xxy ??小結(jié) 可以是復(fù)數(shù)）?? (),()()1( xPexf mx?)。 (2) 求變換后的微分方程滿足初始條件 0)dd)(s i n(dd 322??? yxxyyx且 解 : 上式兩端對 x 求導(dǎo) , 得 (1) 由反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式知 0)(dddd 222????? yyxyxy222)(ddddyyxyyx??????3)( yy?????代入原微分方程得 xyy si n????① (2) 方程①的對應(yīng)齊次方程的通解為 xx CCY ??? ee 21設(shè)①的特解為 ,si nc o s xBxAy ??? 代入①得 A＝ 0, ,21??B ,si n21 xy ???故 從而得①的通解 : xCCy xx si n21ee 21 ??? ?由初始條件 ,23)0(,0)0( ??? yy得 1,1
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1