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正文內(nèi)容

分式的運(yùn)算技巧(完整版)

  

【正文】 分析:本題的10個(gè)分式相加,無(wú)法通分,而式子的特點(diǎn)是:每個(gè)分式的分母都是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積(若a是整數(shù)),聯(lián)想到,這樣可抵消一些項(xiàng).解:原式= +2 結(jié)果 A. B. C.+1 D.1 分析:本題設(shè)計(jì)新穎,意在創(chuàng)新,明確計(jì)算程序是正確解答本題的前提.解:計(jì)算程序可表示為:,化簡(jiǎn):原式= =m1+2=m+1,故選C.說(shuō)明:這是一道比較容易的題,但要注意其運(yùn)算的順序,否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的答案.三、自選數(shù)值求解例3化簡(jiǎn),并選擇你最喜歡的數(shù)代入求值.分析:這是近年來(lái)出現(xiàn)的一種新題型,具有一定的靈活性。解:因?yàn)?=①,+=②,+=③,將①、②、③左、右分別相加,得2(++)=++ ∴++=  所以==例5 有一道題:“先化簡(jiǎn)再求值:,其中”,小明做題時(shí)把“”錯(cuò)抄成了“”,但他的計(jì)算結(jié)果也是正確,請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算解釋這是怎么回事?解析:首先對(duì)原分式進(jìn)行化簡(jiǎn),再根據(jù)化簡(jiǎn)結(jié)果說(shuō)理..因?yàn)楫?dāng)和時(shí), 的值都是2009,所以小明把“”錯(cuò)抄成了“”,計(jì)算結(jié)果也是正確的.例6 已知x23x+1=0,求x2+的值。解:由已知得=4 ∴a+b=4ab===點(diǎn)評(píng):本題還可以將所求式分子、分母同除以ab得到=然后將已知式代入求值,這種方法也是常用的一種方法。九、把未知數(shù)當(dāng)成已知數(shù)法例9.已知3a4bc=0,2a+b8c=0,計(jì)算: 解:把c當(dāng)作已知數(shù),用c表示a,b 得,a=3c, b=2c∴==.十、巧用因式分解法例10.已知a+b+c=0,計(jì)算++解:∵a+b+c=0, ∴a=bc,b=ac,c=ab∴2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(bc)+bc=(ab)(ac)同理可得2b2+ac=(bc)(ba),2c2+ab=(ca)(cb)++=++=+======1分式運(yùn)算的幾種技巧(二)先約分后通分技巧 例1 計(jì)算+分析:不難發(fā)現(xiàn),兩個(gè)分式均能約分,故先約分后再計(jì)算解:原式=+ =+=分離整數(shù)技巧 例2 計(jì)算分析:兩個(gè)分式的分子、分母不能約分,如把分子突出分母,分離整數(shù)方法可使計(jì)算化簡(jiǎn)。例如 當(dāng)x____時(shí),分式有意義?錯(cuò)解:由分母,得注意分式的值為零必受分母不為零的限制.當(dāng) 時(shí),分式有意義.當(dāng) 時(shí),分式無(wú)意義.當(dāng) 時(shí),分式值為0.二、分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.(1) 分式的基本性質(zhì)是分式恒等變形的依據(jù),它是分式的約分、通分、化簡(jiǎn)和解分式方程基礎(chǔ),因此,我們要正確理解分式的基本性質(zhì),并能熟練的運(yùn)用它.理解分式的基本性質(zhì)時(shí),必須注意:①分式的基本性質(zhì)中的A、B、M表示的都是整式.②在分式的基本性質(zhì)中,M≠0.③分子、分母必須“同時(shí)”乘以M(M≠0),不要只乘分子(或分母).④性質(zhì)中“分式的值不變”這句話的實(shí)質(zhì),是當(dāng)字母取同一值(零除外)時(shí),變形前后分式的值是相等的。分式的除法法則: 兩個(gè)分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。通分:異分母的分式可以化成同分母的分式,這一過(guò)程叫做通分。用式子表示為::分子為0且分母不為0。(A、B是整式,B中含有字母)的式子叫做分式。由于字母可以表示不同的數(shù),所以分式比分?jǐn)?shù)更具有一般性。帶有根號(hào)且根號(hào)下含有字母的式子叫做無(wú)理式。公因式的提取方法:系數(shù)取分子和分母系數(shù)的最大公約數(shù),字母取分子和分母共有的字母,指數(shù)取公共字母的最小指數(shù),即為它們的公因式。分式的加減法法則: 同分母分式的加減法法則:同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減。分式方程解法的歸納:解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母,這也是解分式方程的一般思路和做法。現(xiàn)就分式運(yùn)算中的技巧與方法舉例說(shuō)明。解:由x23x+1=0,兩邊同除以x(x≠0),得x3+=0,即x+=3所以x2+=(x+)22=322=7 二、分式求值中的整體思想例1 若分式的值為,則的值為( )A、1 B、1 C、 D、解:由已知=得2y2+3y+7=82y2+3y=1,4y2+6y=2所以==1,故選A。)22這一變換在以后經(jīng)常用到同學(xué)們務(wù)必掌握。(3); (4)。 = 化簡(jiǎn)錯(cuò)解:原式分析:分式的基本性質(zhì)是“分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變”,而此題分子乘以3,分母乘以2,違反了分式的基本性質(zhì).正解:原式二、 錯(cuò)在顛倒運(yùn)算順序例2 計(jì)算錯(cuò)解:原式分析:乘除是同一級(jí)運(yùn)算,除在前應(yīng)先做除,上述錯(cuò)解顛倒了運(yùn)算順序,致使結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.正解:原式三、錯(cuò)在約分例1例3.若關(guān)于分式方程有增根,求的值。 這道題已知條件是兩個(gè)等式,三個(gè)字母,所以我們可以用一個(gè)字母表示其它字母,對(duì)已知條件變形得到方程組 a+b+c=0 b=2c ==a+2b+3c=0 a=c用c代替a、b代入到分式中,能很快求解出來(lái)=例5(非負(fù)變形). 已知:,求的值.【解析】觀察已知條件,有平方項(xiàng),所以可以化成平方的形式 其中 所以=0 =0得再帶入原式很容易求出解。28;(2)10101247。(3)冪的乘方性質(zhì):(am)n=amn。 (4)()2x-3=_____?;钣霉阶冃吻笾狄阎蟮闹? 如果,求的值變式:1)已知,求的值2)如果,求的值3)已知,求的值試一試:已知,求(1) (2)設(shè)k求值法例:已知,求的值變式:1)已知,求的值2)已知,求的值 3)已知、為互不相等的實(shí)數(shù),且,求的值整體代換法已知,求的值變式:已知,求的值代入消元法若,求的值變式:已知,求的值分式的運(yùn)算測(cè)試題姓名 班級(jí) 學(xué)號(hào) 一、填空題:(本題18分,每小題3分):當(dāng) 時(shí),分式有意義;當(dāng) 時(shí), 分式的值等于零. 化簡(jiǎn):= .當(dāng)x、y滿足關(guān)系式________時(shí),=-化簡(jiǎn) .分式方程有增根,則m= .已知關(guān)于的方程的解是正數(shù),則m的取值范圍為_____________.二、選擇題:(本題18分,每小題3分):⒈下列約分正確的是( )A、 B、 C、 D、⒉用換元法解分式方程時(shí),如果設(shè),將原方程化為關(guān)于的整式方程,那么這個(gè)整式方程是( )A. B. C. D.⒊下列分式中,計(jì)算正確的是( )A、 B、C、 D、⒋
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