高三導數(shù)及其應(yīng)用測試題及答案解析(完整版)
【正文】 ．(填寫正確命題的序號)①函數(shù)f(x)在區(qū)間(－3,1)內(nèi)單調(diào)遞減；②函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,7)內(nèi)單調(diào)遞減；③當x＝－3時，函數(shù)f(x)有極大值；④當x＝7時，函數(shù)f(x)有極小值．解析：由圖像可得，在區(qū)間(－3,1)內(nèi)f(x)的導函數(shù)數(shù)值大于零，所以f(x)單調(diào)遞增；在區(qū)間(1,7)內(nèi)f(x)的導函數(shù)值小于零，所以f(x)單調(diào)遞減；在x＝－3左右的導函數(shù)符號不變，所以x＝－3不是函數(shù)的極大值點；在x＝7左右的導函數(shù)符號在由負到正，所以函數(shù)f(x)在x＝7處有極小值．故②④正確．答案：②④三、解答題：本大題共6小題，共70分．17．(10分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)在x＝1處有極值為10，求b的值；(2)若對任意a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．解析：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，則?或當時，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132＞0，故函數(shù)有極值點；當時，f′(x)＝3(x－1)2≥0，故函數(shù)無極值點；故b的值為－11.(2)方法一：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，則F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．∵x≥0，F(xiàn)(a)在a∈[－4，＋∞)上單調(diào)遞增或為常數(shù)函數(shù)，∴得F(a)min＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0對任意的x∈[0,2]恒成立，即b≥(－3x2＋8x)max，又－3x2＋8x＝－32＋≤，當x＝時，(－3x2＋8x)max＝，得b≥，故b的最小值為.方法二：f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，即b≥－3x2－2ax對任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，即b≥(－3x2－2ax)max.令F(x)＝－3x2－2ax＝－32＋，①當a≥0時，F(xiàn)(x)max＝0，于是b≥0；②當－4≤a＜0時，F(xiàn)(x)max＝，于是b≥.又∵max＝，∴b≥.綜上，b的最小值為.18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋bx＋c.(1)若f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，求b的取值范圍；](2)若f(x)在x＝1處取得極值，且x∈[－1,2]時，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范圍．]解析：(1)f′(x)＝3x2－x＋b，因f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，則f′(x)≥0，即3x2－x＋b≥0，∴b≥x－3x2在(－∞，＋∞)恒成立．設(shè)g(x)＝x－3x2，當x＝時，g(x)max＝，∴b≥.(2)由題意，知f′(1)＝0，即3－1＋b＝0，∴b＝－2.x∈[－1,2]時，f(x)＜c2恒成立，只需f(x)在[－1,2]上的最大值小于c2即可．因f′(x)＝3x2－x－2，令f′(x)＝0，得x＝1，或x＝－.∵f(1)＝－＋c，f(－)＝＋c，f(－1)＝＋c，f(2)＝2＋c，∴f(x)max＝f(2)＝2＋c，∴2＋c＜c2，解得c＞2，或c＜－1，所以c的取值范圍為(－∞，－1)∪(2，＋∞)．19．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(x∈R)．(1)當m＝1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程；(2)當m＞0時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．解析：(1)當m＝1時，f(x)＝，f(2)＝，又因為f′(x)＝＝，則f′(2)＝－.所以曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.(2)f′(x)＝＝.令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝m.∵m＞0，∴－＜m.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－m(m，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)遞減極小值遞增極大值遞減從而f(x)在區(qū)間，(m，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，故函數(shù)f(x)在點x1＝－處取得極小值f，且f＝－m2，函數(shù)f(x)在點x2＝m處取得極大值f(m)，且f(m)＝1.20．(12分)已知函數(shù)f(x)＝(a－)x2＋lnx(
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