【正文】 DPQ=80176。∠ KPQ,PB=QP, ∴ Rt△ HPB≌ Rt△ KQP. ∴ KP=HB=10x, ∴ PD=? (10x), AD=15=? x+? (10x),解得 x=6. ∴ PH=8,HB=4,∴ PB2=80,∴ S陰影 =20π. ? 43 535453 54圖 3 ③點(diǎn) Q在 BC延長(zhǎng)線上時(shí) ,如圖 4,過點(diǎn) B作 BM⊥ AD于點(diǎn) M,由①得 BM=8. 圖 4 又 ∠ MPB=∠ PBQ=45176。2 t=? t2+10t EFBC AHAD10EF 828 t?510 2 t???????12 12 510 2 t???????52 圖 2 =? (t2)2+10.? (5分 ) ∴ 當(dāng) S△ PEF取最大值時(shí) ,t=2. 此時(shí) ,BP=3t=32=6(cm).? (6分 ) (3)存在 . ①如圖 3,若 ∠ PEF=90176。=4? =2? . (2)當(dāng)點(diǎn) P在 BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí) ,有 ∠ QBC=60176。 沿著與 BQ垂直的方向運(yùn)動(dòng) ,運(yùn)動(dòng)路線為 39?！?△ BCP39。=2(93? )6=126? . ∴ 點(diǎn) Q運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)為 6+126? =186? . 3 33 3解題關(guān)鍵 明確點(diǎn) Q的運(yùn)動(dòng)路線是解決本題的關(guān)鍵所在 . 2.(2022吉林 ,25,10分 )如圖 ,在等腰直角三角形 ABC中 ,∠ BAC=90176。 (2)設(shè)△ OMN的面積為 S,求 S與 x之間的函數(shù)表達(dá)式 。 (2)t為何值時(shí) ,線段 PQ將四邊形 ABCD的面積分為 1∶ 2兩部分 ? (3)伴隨 P、 Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) ,線段 PQ的垂直平分線為 l, ① t為何值時(shí) ,l經(jīng)過點(diǎn) C? ②求當(dāng) l經(jīng)過點(diǎn) D時(shí) t的值 ,并求出此時(shí)刻線段 PQ的長(zhǎng) . ? 解析 (1)作 DE⊥ BC于點(diǎn) E. ∵ AD∥ BC,∠ A=90176。,EF=QF. 設(shè) EF=x厘米 ,則 QF=x厘米 ,FC=(4x)厘米 , 在 Rt△ FQC中 ,FQ2+QC2=FC2, 即 x2+22=(4x)2,∴ x=? ,∴ EF=? 厘米 . 在 Rt△ DEF中 ,DE2+EF2=DF2, ∴ 32+? =DF2,∴ DF=? 厘米 . 32 32232??????352在 Rt△ DEF中 ,EG⊥ DF,∴ S△ DEF=? DF,∴∠ A不可能為直角 . ②當(dāng) ∠ ABP=90176。, ∴ △ APD∽ △ PBD,∴ ? =? ,∴ PD2=ADOE=? 21=3. AQEO AOEPOEAP BEBP BOBA 1313 3232 32 32二、線動(dòng) (2022四川綿陽(yáng) ,25,14分 )如圖 ,已知△ ABC中 ,∠ C=90176。NC=? ,∴ AB=? =4? cm. 易知△ ANG∽ △ ABC, ∴ ? =? ,即 ? =? , ∴ NG=? cm,? (12分 ) ∴ sin∠ NEF=? =? .? (14分 ) 2284? 5NGBC ANAB 4NG 645655NGNE 3 1 010三、圖形動(dòng) 1.(2022吉林 ,25,10分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,AB=2 cm,∠ ADB=30176。? x=? x2+? x.? (6分 ) ∴ y=? x2+? x. 當(dāng) 1≤ x≤ 2時(shí) ,如圖③ ,過點(diǎn) Q作 QH⊥ AB于 H. y=S梯形 PQGN=? (QG+PN) (4)直接寫出邊 BC的中點(diǎn)落在正方形 DEFQ內(nèi)部時(shí) x的取值范圍 . ? 解析 (1)x.? (2分 ) (2)如圖① ,延長(zhǎng) FE交 AB于點(diǎn) G. ? 圖① 由題意 ,得 AP=QP=2x cm. ∵ D為 PQ中點(diǎn) ,∴ DQ=x cm.∴ GP=x cm,BG=2x cm. ∴ 2x+x+2x=4.∴ x=? .? (4分 ) (3)如圖② ,當(dāng) 0x≤ ? 時(shí) ,y=S正方形 DEFQ=DQ2=x2 cm2.∴ y=x2. 4545? 圖② 如圖③ ,當(dāng) ? x≤ 1時(shí) ,過點(diǎn) C作 CH⊥ AB于點(diǎn) H,交 FQ于點(diǎn) K,則 CH=2 cm. ? 圖③ ∵ PQ=AP=2x cm,∴ CK=(22x)cm.∴ MQ=2CK=(44x)cm. 45∴ FM=x(44x)=(5x4)cm. ∴ 重疊部分圖形的面積 =S正方形 DEFQS△ MNF=? cm2.∴ y=? x2+20x8. 如圖④ ,當(dāng) 1x2時(shí) ,PQ=BP=(42x)cm.∴ DQ=(2x)cm. ? 圖④ 重疊部分圖形的面積 =S△ DEQ=? DQ2=? (x2)2cm2. ∴ y=? x22x+2.? (8分 ) (4)1x? .? 詳解 :設(shè) BC中點(diǎn)為 M,當(dāng) Q與 C重合時(shí) ,E恰好與 M重合 ,此時(shí) x=1. 223 20 82 xx??? ? ?????23212 121232當(dāng) Q與 M重合時(shí) ,x=? .所以 BC中點(diǎn)落在正方形 DEFQ的內(nèi)部時(shí) ,1x? ? ? (10分 ) 評(píng)分說明 :第 (3)題結(jié)果正確 ,不畫圖不扣分 。. 在 Rt△ A2O2F中 ,O2F=2,∴ A2F=? . ∵ OO2=3t1,AF=AA2+A2F=4t1+? , ∴ 4t1+? 3t1=2,∴ t1=2? . ②當(dāng)直線 AC與☉ O第二次相切時(shí) ,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為 t2. 記第一次相切時(shí)為位置一 ,點(diǎn) O1,A1,C1共線時(shí)為位置二 ,第二次相切時(shí)為位置三 . 由題意知 ,從位置一到位置二所用時(shí)間與從位置二到位置三所用時(shí)間相等 . ∴ ? +2? =t2? ,∴ t2=2+2? . 綜上所述 ,當(dāng) d2時(shí) ,t的取值范圍是 2? t2+2? . 233233233 233233 232 3???????2323???????3233 3評(píng)析 本題是一道典型的運(yùn)動(dòng)型問題 ,化動(dòng)為靜 ,合理運(yùn)用切線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵 ,主要 考查學(xué)生分析問題的能力 . 。 (2)如圖② ,兩個(gè)圖形移動(dòng)一段時(shí)間后 ,☉ O到達(dá)☉ O1的位置 ,矩形 ABCD到達(dá) A1B1C1D1的位置 ,此 時(shí)點(diǎn) O1,A1,C1恰好在同一直線上 ,求圓心 O移動(dòng)的距離 (即 OO1的長(zhǎng) )。=2? ,當(dāng) E點(diǎn)在 BC上時(shí) , ? =? =? =? ?BE=? BC=? ,如圖 ,作 EF∥ CD交 BD于點(diǎn) F,設(shè) BD與 AE的交點(diǎn)為 O, 3ABEABCDSS矩 形12 A B B EA B B C?? 131? 14 123則 BF=? BD=2,由△ FEO∽ △ BAO可得 BO=? BF=? ,而 AP=BQ=2x,由 PQ∥ OA可得 ? =? ? ? =? ?x=? . 同理 ,當(dāng) E點(diǎn)在 DC上時(shí) ,? =? =? =? ?DE=? AB=1,設(shè) AE、 BD交點(diǎn)為 O,由△ DEO∽ △ BAO可得 BO=? BD=? ,又 AP=BQ=2x,且 PQ∥ OA所以 ? =? ?? =? ?x=? . 評(píng)分說明 : (2)題 ,寫自變量取值范圍用“ ”或“ ≤ ”均不扣分 。點(diǎn) Q在 BD上以 2 cm/ s的速度向終點(diǎn) D運(yùn)動(dòng) .過點(diǎn) P作 PN⊥ AD,垂足為點(diǎn) PQ,以 PQ,PN為鄰邊作 ? 動(dòng)時(shí)間為 x(s),?PQMN與矩形 ABCD重疊部分的圖形面積為 y(cm2). (1)當(dāng) PQ⊥ AB時(shí) ,x= 。t=? t2+2t。.再過點(diǎn) N作 AC的垂線交 AB于點(diǎn) F,連接 MF,將△ MNF關(guān)于直線 NF對(duì)稱后得到△ ENF. 已知 AC=8 cm,BC=4 cm,設(shè)點(diǎn) M運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s),△ ENF與△ ANF重疊部分的面積為 y(cm2). (1)在點(diǎn) M的運(yùn)動(dòng)過程中 ,能否使得四邊形 MNEF為正方形 ?如果能 ,求出相應(yīng)的 t值 。. 又 ∵∠ 3+∠ OEB=180176。,∴∠ OPB=30176。EF, ∴ EG=? ,∴ EG=? 厘米 , ∴ PQ=2EG=? 厘米 .? (12分 ) 12 12DE EFDF? 355655評(píng)析 本題是四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問題 ,考查勾股定理 ,三角形的相似 ,四邊形與三角形的面積表 示 ,線段的垂直平分線等知識(shí) ,解題關(guān)鍵是用含 t的代數(shù)式表示線段長(zhǎng)和面積 ,題目計(jì)算量較大 , 對(duì)學(xué)生的計(jì)算能力有較高要求 .屬難題 . 3.(2022福建福州 ,21,13分 )如圖 1,點(diǎn) O在線段 AB上 ,AO=2,OB=1,OC為射線 ,且 ∠ BOC=60176。PC 若不存在 ,請(qǐng)說明理由 . ? 解析