【正文】 時，對應(yīng)于它， 也 偏離 也偏離 時的行為，則可以通過對系統(tǒng)的一次近 似而予以線性化。以每個延遲器的輸出作為一個狀態(tài)變量，可得： 矢量矩陣形式的離散狀態(tài)空間表達式為： 式中 的求法，類似于 (34)求 的計算公式，即： 多變量離散狀態(tài)空間表達式為： 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 以上討論的只是定常系統(tǒng)，其特征是它的狀態(tài)空間表達式中的 A、 B、 C、 D等矩陣的元素既不依賴于輸入、輸出，也與時間無關(guān)。但應(yīng)注 意，傳遞函數(shù)陣相乘，先后次序不能顛倒。 應(yīng)當指出，同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達式可以作各種非奇異變換而 不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的 c對于已知系統(tǒng)如式 (66)，其傳 遞函數(shù)陣為式 (69)。 為 列陣； c為 行陣； d為標量，一般為零。則式（ 35）的一種 實現(xiàn)為： 或表示為： （ 36） 狀態(tài)矢量的線性變換 (坐標變換 ) 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性 對于一個給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應(yīng)地有許多種 狀態(tài)空間表達式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。 將圖中每個積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時稱為 相變量 ，它是輸出 的各階導(dǎo)數(shù)。 從系統(tǒng)框圖出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 該法是首先將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，變換成相應(yīng)的模擬結(jié)構(gòu)圖，并把每個積 分器的輸出選作一個狀態(tài)變量 其輸入便是相應(yīng)的 然后，由模擬圖 直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。如上圖一所示的系統(tǒng)，在以 作輸出時，從式 (1)消去中間變量 i，得到二階微分方程為： 其相應(yīng)的傳遞函數(shù)為： （ 6） （ 5） 回到式（ 5）或式（ 6）的二階系統(tǒng)，若改選 和 作為兩個狀態(tài)變量， 即令 則得一階微分方程組為： 說明：針對一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取不唯一。 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立 (一 ) 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)矢量的線性變換 (坐標變換 ) 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立 (二 ) 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式 狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量， 當其在 t=t0時刻的值已知時，則在給定 t≥t 0時刻的輸入作用下，便能完全確 定系統(tǒng)在任何 t≥t 0時刻的行為。 Such as （ 8） 設(shè)單輸入 單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 則狀態(tài)方程的一般形式為： 輸出方程式則有如下形式： 用矢量矩陣表示時的狀態(tài)空間表達式則為： 因而多輸入 多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的矢量矩陣形式為： 式中， x和 A為同單輸入系統(tǒng)，分別為 n維狀態(tài)矢量和 n n系統(tǒng)矩陣； 為 r維輸入 (或控制 )矢量； 為 m維輸出矢量； （ 9） （ 10） 為了簡便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接 傳遞，即令 D = 0 。 方塊結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)空間表達式 111?sTKsTK22u y － ＋ 例：系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。至于每個積分器的輸入，顯然就是各狀態(tài)變量的 導(dǎo)數(shù)。所選取的 狀態(tài)矢量之間，實際上是一種矢量的 線性變換 (或稱坐標變換 )。 （ 62） 對式 (62)進行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有： （ 63） 故 U— X間的傳遞函數(shù)為： （ 64） 它是一個 的列陣函數(shù)。當做坐標變換，即令 時，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空 間表達式為： （ 71） 那么對應(yīng)上式的傳遞函數(shù)陣 應(yīng)為： 即同一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是唯一的。 3．具有輸出反饋的系統(tǒng) 如下圖所示，由圖可得： 即 從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為： 這里又遇到分塊求逆的問題，假定： 故有： 從而得： 由上兩式解得： 即 于是： 所以有： 同理也可求得： 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法，完全適用于離散時間系統(tǒng)。 線性時變系統(tǒng)有： 它們的元素有些或全部是時間 t的函數(shù)。 非線性系統(tǒng) 非線性的動態(tài)特性是用如下的 n個一階微分方程組描述的： 用矢量矩陣表示，則為： （ 83） 式中， 為矢量函數(shù)； 為 的元素。在離 散系統(tǒng)中，從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達式，也是一種 實現(xiàn)。現(xiàn)僅以兩個子系統(tǒng)作各種連接為例，推導(dǎo)其等效的傳遞函數(shù)陣。 2．多輸入一多輸出系統(tǒng) 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式： （ 66） 式中， 為 r 1輸入列矢量； 為 m 1輸出列矢量； B為 n r控制矩陣； C為 m n輸出矩陣； D為 m r直接傳遞陣； X， A為同單變量系統(tǒng)。 方陣 A且有 n個特征值；實際物理系統(tǒng)中， 為實數(shù)方陣， 故特征值或為實數(shù)，或為成對共軛復(fù)數(shù)；如 為實對稱方陣，則其特征值都 是實數(shù)。 例 設(shè) yx ?1 2xy? 3xy?解 ： 選 y??? ? y?5 ? ?8 y? 6 uy 3? 求 （ A， B， C， D） 21 xx ??32 xx ??uxxxx 3586 3213 ??????1xy ?則 ： 狀態(tài)方程 輸出方程 例續(xù) : y??? ? y?5 ? ?8 y?6 uy 3?解 ： uxxxxxx?????????????????????????????????????????????300586100010321321???? ????