【正文】 為零，記為 在 AR(1) Xt=?Xt1+ ?t 中 ， 同樣地， 在 AR(p)過(guò)程中 ， 對(duì)所有的 kp， Xt與 Xtk間的偏自相關(guān)系數(shù) 為零。至于衰減的形式，要看 AR(2)特征根的實(shí)虛性， 若為實(shí)根，則呈單調(diào)或振蕩型衰減，若為虛根，則呈正弦波型衰減。 例如， 一個(gè) ARMA(2,1,2)時(shí)間序列在它成為平穩(wěn)序列之前先得差分一次，然后用一個(gè) ARMA(2,2)模型作為它的生成模型的。 對(duì)應(yīng)的特征方程 1?1z?2z2=0 的兩個(gè)根 z z2滿足： z1z2=1/?2 , z1+z2 =?1/?2 AR(2)模型解出 ?1， ?2由 AR(2)的平穩(wěn)性， |?2|=1/|z1||z2|1 ，則至少有一個(gè)根的模大于 1，不妨設(shè) |z1|1，有于是 | z2 |1。 可以證明， 如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于 1），則 AR(p)模型是平穩(wěn)的。 Ct與 Yt作為內(nèi)生變量，它們的運(yùn)動(dòng)是由作為外生變量的投資 It的運(yùn)動(dòng)及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng) ?t的變化決定的。 這也正是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的優(yōu)勢(shì)所在。 也可檢驗(yàn)對(duì)所有 k0，自相關(guān)系數(shù)都為 0的聯(lián)合假設(shè)，這可通過(guò)如下 QLB統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行： 該統(tǒng)計(jì)量近似地服從自由度為 m的 ?2分布（ m為滯后長(zhǎng)度）。 平穩(wěn)性檢驗(yàn)的圖示判斷 n 給出一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列，首先可通過(guò)該序列的 時(shí)間路徑圖 來(lái)粗略地判斷它是否是平穩(wěn)的。該序列常被稱為是一個(gè) 白噪聲（ white noise） 。MIMU 表現(xiàn)在 :兩個(gè)本來(lái)沒有任何因果關(guān)系的變量，卻有很高的相關(guān)性（有較高的 R2)： 例如： 如果有兩列時(shí)間序列數(shù)據(jù)表現(xiàn)出一致的變化趨勢(shì)（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關(guān)系，但進(jìn)行回歸也可表現(xiàn)出較高的可決系數(shù)。第六章、 時(shí)間序列分析模型（ 1）Eamp。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中 ： 情況往往是 實(shí)際的時(shí)間序列數(shù)據(jù)是非平穩(wěn)的 ， 而且主要的經(jīng)濟(jì)變量如消費(fèi)、收入、價(jià)格往往表現(xiàn)為一致的上升或下降。 由于 Xt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零 ,由定義 ,一個(gè)白噪聲序列是平穩(wěn)的 。n 一個(gè) 平穩(wěn)的時(shí)間序列 在圖形上往往表現(xiàn)出一種圍繞其均值不斷波動(dòng)的過(guò)程；n 而 非平穩(wěn)序列 則往往表現(xiàn)出在不同的時(shí)間段具有不同的均值（如持續(xù)上升或持續(xù)下降）。 因此 :如果計(jì)算的 Q值大于顯著性水平為 ?的臨界值，則有 1?的把握拒絕所有 ?k(k0)同時(shí)為0的假設(shè)。n 經(jīng)典回歸模型的問(wèn)題：n 迄今為止， 對(duì)一個(gè)時(shí)間序列 Xt的變動(dòng)進(jìn)行解釋或預(yù)測(cè)，是通過(guò)某個(gè)單方程回歸模型或聯(lián)立方程回歸模型進(jìn)行的，由于它們以因果關(guān)系為基礎(chǔ)，且具有一定的模型結(jié)構(gòu)，因此也常稱為 結(jié)構(gòu)式模型（ structural model） 。上述模型可作變形如下：n 兩個(gè)方程等式右邊除去第一項(xiàng)外的剩余部分可看成一個(gè)綜合性的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，其特征依賴于投資項(xiàng) It的行為。 例、 AR(1)模型的平穩(wěn)性條件。由 ?2 ?1 1可推出同樣的結(jié)果。 當(dāng)然， 一個(gè) ARMA(p,0,0)過(guò)程表示了一個(gè)純 AR(p)平穩(wěn)過(guò)程；一個(gè) ARMA(0,0,q)表示一個(gè)純 MA(q)平穩(wěn)過(guò)程。 一般地， p階自回歸模型 AR(p) k期滯后協(xié)方差為 : 從而有 自相關(guān)函數(shù) : 可見， 無(wú)論 k有多大， ?k的計(jì)算均與其１到 p階滯后的自相關(guān)函數(shù)有關(guān)， 因此 呈拖尾狀 。 AR(p)的一個(gè)主要特征是 :kp時(shí)， ?k*=Corr(Xt,Xtk)=0 即 ?k*在 p以后是截尾的。 因此，我們 把 |?|1稱為 MA(1)的可逆性條件 （invertibility condition） 或可逆域。因此， 如果計(jì)算的 rk滿足 ： ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù) ，可以看作 MA(q)的自相關(guān)函數(shù)和 AR(p)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。 （ 1） MA(1)模型的直接算法 對(duì)于 MA(1)模型，（ *）式相應(yīng)地寫成于是 或有于是有解 由于參數(shù)估計(jì)有兩組解，可根據(jù)可逆性條件 |?1|1來(lái)判斷選取一組。 ??2的估計(jì)值為 ： 需要說(shuō)明的是， 在上述模型的平穩(wěn)性、識(shí)別與估計(jì)的討論中， ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項(xiàng)。 AIC與 SBC模型選擇標(biāo)準(zhǔn) 另外一個(gè)遇到的問(wèn)題是，在實(shí)際識(shí)別 ARMA(p,q)模型時(shí)，需多次反復(fù)償試，有可能存在不止一組 （ p,q） 值都能通過(guò)識(shí)別檢驗(yàn)。 常用的模型選擇的判別標(biāo)準(zhǔn)有： 赤池信息法 （ Akaike information criterion， 簡(jiǎn)記為 AIC）與 施瓦茲貝葉斯法 （Schwartz Bayesian criterion， 簡(jiǎn)記為 SBC）： 中國(guó)支出法 GDP是非平穩(wěn)的，但它的一階差分是平穩(wěn)的，即支出法 GDP是 I(1)時(shí)間序列。 本例中加入常數(shù)項(xiàng)的回歸為： （ ） （ ） （ ） r2 = R2 = DW.= n 模型檢驗(yàn) 下表列出三模型的殘差項(xiàng)的自相關(guān)系數(shù)及 QLB檢驗(yàn)值。 下面只建立 中國(guó)人均居民消費(fèi)（ CPC） 的隨機(jī)時(shí)間序列模型。 不同模型的回歸結(jié)果列于下表中 可以看出 :在純 MA模型中，模型 4具有較好的性質(zhì)，但由于 MA(5)的 t檢驗(yàn)偏小，因此可選取模型 3。因此 : 模型 1與 3可作為描述中國(guó)支出法 GDP一階差分序列的隨機(jī)生成過(guò)程。 記 GDP經(jīng)一階差分后的新序列為 GDPD1，該新序列的樣本自相關(guān)函數(shù)圖與偏自相關(guān)函數(shù)圖如下： 例； 中國(guó)支出法 GDP的 ARMA(p,q)模型估計(jì)。 因此， 對(duì)可能的適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，存在著模型?“簡(jiǎn)潔性 ”與模型的擬合優(yōu)度的權(quán)衡選擇問(wèn)題。 下面以一般的 ARMA(p,q)模型為例說(shuō)明。 ⒊ ARMA(p,q)模型的矩估計(jì) 在 ARMA(p,q)中共有 (p+q+1)個(gè)待估參數(shù) ?1,?2,? ,?p與 ?1,?2,? ,?q以及 ??2，其估計(jì)量計(jì)算步驟及公式如下： 第一步 ，估計(jì) ?1,?2,? ,?p 是總體自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，可用樣本自相關(guān)函數(shù) rk代替 。 ARMA(p, q)過(guò)程 AR(p)、 MA(q)、 ARMA(p,q)模型的估計(jì)方法較多， 大體上分為 3類： （ 1）最小二乘估計(jì)； （ 2）矩估計(jì)； （ 3）利用自相關(guān)函數(shù)的直接估計(jì)。 于是： 可以根據(jù)自相關(guān)系數(shù)是否從某一點(diǎn)開始一直為 0來(lái)判斷 MA(q)模型的階。 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù) rk*是總體偏自相關(guān)函數(shù) ?k*的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng)kp時(shí)， rk*不會(huì)全為 0，而是在 0的上下波動(dòng)。 Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 +