【正文】 … ?pXtp + ?t 其中： 1/zi是 AR(p)特征方程 ?(z)=0的特征根，由AR(p)平穩(wěn)的條件知， |zi|1。 所使用的工具 主要是 時(shí)間序列的 自相關(guān)函數(shù) （ autocorrelation function， ACF） 及偏自相關(guān)函數(shù) （ partial autocorrelation function， PACF ）。因此 :有限階移動(dòng)平均模型總是平穩(wěn)的 。如果該模型穩(wěn)定，則有 E(Xt2)=E(Xt12)，從而上式可變換為：在穩(wěn)定條件下，該方差是一非負(fù)的常數(shù)，從而有 |?|1。 自回歸移動(dòng)平均模型（ ARMA）是隨機(jī)時(shí)間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（ AR）和移動(dòng)平均模型（ MA）是它的特殊情況。n 有時(shí)， 即使能估計(jì)出一個(gè)較為滿意的因果關(guān)系回歸方程，但由于 對某些解釋變量未來值的預(yù)測本身就非常困難 ，甚至比預(yù)測被解釋變量的未來值更困難，這時(shí)因果關(guān)系的回歸模型及其預(yù)測技術(shù)就不適用了。回答： 可以通過建立 隨機(jī)時(shí)間序列分析模型 來進(jìn)行 與經(jīng)典回歸分析不同的是 ： 這里所建立的時(shí)間序列模型主要不是以不同變量間的因果關(guān)系為基礎(chǔ)，而是尋找時(shí)間序列自身的變化規(guī)律； 同樣地，在預(yù)測一個(gè)時(shí)間序列未來的變化時(shí)，不再使用一組與之有因果關(guān)系的其他變量，而只是用該序列的過去行為來預(yù)測未來。 實(shí)際上 ,對一個(gè)隨機(jī)過程只有一個(gè)實(shí)現(xiàn)（樣本），因此，只能計(jì)算 樣本自相關(guān)函數(shù) （ Sample autocorrelation function）。 容易知道該序列有相同的 均值 ： E(Xt)=E(Xt1)n 然而，對 X取 一階差分 （ first difference） : ?Xt=XtXt1=?t由于 ?t是一個(gè)白噪聲，則序列 {Xt}是平穩(wěn)的。數(shù)據(jù)非平穩(wěn)，往往導(dǎo)致出現(xiàn) “虛假回歸 ”問題：Eamp。Eamp。MIMU 第（ 2）條是為了滿足統(tǒng)計(jì)推斷中大樣本下的 “一致性 ”特性：第（ 1）條是 OLS估計(jì)的需要▲如果 X是非平穩(wěn)數(shù)據(jù) （如表現(xiàn)出向上的趨勢），則（ 2）不成立，回歸估計(jì)量不滿足 “一致性 ”，基于大樣本的統(tǒng)計(jì)推斷也就遇到麻煩。一、數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性及其檢驗(yàn)二、時(shí)間序列模型的基本概念及其適用性三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的平穩(wěn)性條件四、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別五、隨機(jī)時(shí)間序列模型的估計(jì)六、模型的檢驗(yàn)時(shí)間序列分析模型假定某個(gè)時(shí)間序列是由某一 隨機(jī)過程 （stochastic process）生成的，即假定時(shí)間序列{Xt}（ t=1, 2, … ）的每一個(gè)數(shù)值都是從一個(gè)概率分布中隨機(jī)得到，如果滿足下列條件： 1）均值 E(Xt)=?是 與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 2）方差 Var(Xt)=?2是 與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 3）協(xié)方差 Cov(Xt,Xt+k)=?k 是 只與時(shí)期間隔 k有關(guān)，與時(shí)間 t 無關(guān)的常數(shù)； 則稱該隨機(jī)時(shí)間序列是 平穩(wěn)的 （ stationary)，而該隨機(jī)過程是一 平穩(wěn)隨機(jī)過程 （ stationary stochastic process）。 2)?=1時(shí)，是一個(gè)隨機(jī)游走過程，也是非平穩(wěn)的。n 注意 : 確定樣本自相關(guān)函數(shù) rk某一數(shù)值是否足夠接近于 0是非常有用的，因?yàn)樗?檢驗(yàn)對應(yīng)的自相關(guān)函數(shù) ?k的真值是否為 0的假設(shè)。 將純 AR(p)與純 MA(q)結(jié)合，得到一個(gè)一般的 自回歸移動(dòng)平均（ autoregressive moving average）過程 ARMA（ p,q） ： Xt=?1Xt1+ ?2Xt2 + … + ?pXtp + ?t ?1?t1 ?2?t2 ? ?q?tq 該式表明：（ 1）一個(gè)隨機(jī)時(shí)間序列可以通過一個(gè)自回歸移動(dòng)平均過程生成， 即該序列可以由其自身的滯后值以及隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)來解釋。 在這些情況下，我們采用另一條預(yù)測途徑 ： 通過時(shí)間序列的歷史數(shù)據(jù)，得出關(guān)于其過去行為的有關(guān)結(jié)論，進(jìn)而對時(shí)間序列未來行為進(jìn)行推斷 。 如果 一個(gè) p階自回歸模型 AR(p)生成的時(shí)間序列是平穩(wěn)的，就說該 AR(p)模型是平穩(wěn)的 ， 否則 ， 就說該 AR(p)模型是非平穩(wěn)的 。 對 AR(2)模型 方程兩邊同乘以 Xt，再取期望得： 又由于于是 同樣地，由原式還可得到于是方差為 由平穩(wěn)性的定義，該方差必須是一不變的正數(shù)，于是有 ?1+?21, ?2?11, |?2|1這就是 AR(2)的平穩(wěn)性條件 ，或稱為 平穩(wěn)域 。 最后 （ 1）一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列總可以找到生成它的平穩(wěn)的隨機(jī)過程或模型； （ 2）一個(gè)非平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列通常可以通過差分的方法將它變換為平穩(wěn)的，對差分后平穩(wěn)的時(shí)間序列也可找出對應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程或模型。 注意 ， ?0時(shí)， 呈振蕩衰減狀。 例如，在 AR(1)隨機(jī)過程中， Xt與 Xt2間有相關(guān)性可能主要是由于它們各自與 Xt1間的相關(guān)性帶來的 :即：自相關(guān)函數(shù)中包含了這種所有的 “間接 ”相關(guān)。 對 MA(1)過程 MA(q)過程 可容易地寫出它的 自協(xié)方差系數(shù) ： 于是， MA(1)過程的 自相關(guān)函數(shù) 為：可見，當(dāng) k1時(shí)， ?k=0，即 Xt與 Xtk不相關(guān)， MA(1)自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 同樣需要注意的是： 在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù) rk是總體自相關(guān)函數(shù) ?k的一個(gè)估計(jì)，由于樣本的隨機(jī)性，當(dāng) kq時(shí)， rk不會(huì)全為 0，而是在 0的上下波動(dòng)。 該方程組建立了 AR(p)模型的模型參數(shù) ?1,?2,? ,?p與自相關(guān)函數(shù) ?1,?2,? ,?p的關(guān)系， 利用實(shí)際時(shí)間序列提供的信息， 首先 求得自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值 然后 利用 Yule Walker 方程組，求解模型參數(shù)的估計(jì)值由于 于是 從而可得 ??2的估計(jì)值 在具體計(jì)算時(shí)， 可用樣本自相關(guān)函數(shù) rk替代。 ⒋ AR(p)的最小二乘估計(jì)假設(shè)模型 AR(p)的參數(shù)估計(jì)值已經(jīng)得到，即有 殘差的平方和為： (*) 根據(jù)最小二乘原理，所要求的參數(shù)估計(jì)值是下列方程組的解： 即 j=1,2,…,p (**) 解該方程組，就可得到待估參數(shù)的估計(jì)值。 在實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，主要檢驗(yàn)殘差序列是否存在自相關(guān) 。 其中， n為待估參數(shù)個(gè)數(shù)（ p+q+可能存在的 常數(shù)項(xiàng) ）， T為可使用的 觀測值 ， RSS為殘差平方和 （ Residual sum of squares）。 自相關(guān)函數(shù) 與 偏自相關(guān)函數(shù) 的 函數(shù)值： 相關(guān)函數(shù)具有明顯的拖尾性； 偏自相關(guān)函數(shù)值在 k2以后，可認(rèn)為： 偏自相關(guān)函數(shù)是截尾的。 模型 3的預(yù)測式與此相類似，只不過多出一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)。