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廈門大學(xué)應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析第03章_多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)(完整版)

  

【正文】 nm????? ? ??XY Σ XY ( 3 . 8 ) 給出檢驗(yàn)水平?,查)(2 p?分布表使? ?220PT ?????,可確定出臨界值2??,再用樣本值計(jì)算出20T,若220T ???,則否定0H,否則接受0H。 ? 這里要對(duì)統(tǒng)計(jì)量的選取做一些解釋,為什么該統(tǒng)計(jì)量服從)(2 p?分布。 ? 定義 設(shè)~ ( , )pNX μ Σ,~ ( , )pWnS Σ且 X 與S相互獨(dú)立,pn ?,則稱統(tǒng)計(jì)量2 1Tn ?? X S X的分 布 為 非 中 心 H ot e l l i n g T2分 布 , 記 為2 ~ ( , , )T T p n2 μ。 ? 為了更好的說(shuō)明檢驗(yàn)過(guò)程中統(tǒng)計(jì)量的分布,本章還要介紹HotellingT2分布和 Wilks分布的定義。第三章 多元正態(tài)分布均值向量和 協(xié)差陣的檢驗(yàn) 第一節(jié) 引言 第二節(jié) 均值向量的檢驗(yàn) 第三節(jié) 協(xié)差陣的檢驗(yàn) 第一節(jié) 引言 ? 在單一變量的統(tǒng)計(jì)分析中,已經(jīng)給出了正態(tài)總體 N( ?, ?2) 的均值 ?和方差 ?2的各種檢驗(yàn)。 第二節(jié) 均值向量的檢驗(yàn) 一 單一變量檢驗(yàn)的回顧及 HotellingT2分布 二 一個(gè)正態(tài)總體 均值向量的檢驗(yàn) 三 兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn) 四 多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn) 一、單一變量檢驗(yàn)的回顧及 Hotelling T2分布 ? 為了對(duì)多元正態(tài)總體均值向量作檢驗(yàn),首先需要給出HotellingT2分布的定義。當(dāng)0?μ時(shí),稱 2T 服從(中心)H ot e l l i n g 2T 分布。根據(jù)二次型分布定理知道,若~(yú) ( , )pN 0X Σ,則12 ~ ( )p???X Σ X。 ? 這里,我們應(yīng)該注意到,在單一變量統(tǒng)計(jì)中進(jìn)行均值相等檢驗(yàn)所給出的統(tǒng)計(jì)量為 22~ ( 0 , 1 )XYzNnm????? 顯然 22222 2()()()X Y n mz X Ynmnm?? ???? ? ???2 1 2( ) ( ) ( ) ~ ( 1 )nmX Y X Ynm?????? ? ?? 此式恰為上邊統(tǒng)計(jì)量當(dāng)1?p時(shí)的情況,不難看出這里給出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是單一變量檢驗(yàn)情況的推廣。多元方差分析是單因素方差分析直接的推廣。 這里我們需要說(shuō)明的是,在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常把 ? 統(tǒng)計(jì)量化為 2T 統(tǒng) 計(jì)量進(jìn)而化為 F 統(tǒng)計(jì)量,利用 F 統(tǒng)計(jì)量來(lái)解決多元統(tǒng)計(jì)分析中有 關(guān)檢驗(yàn)問(wèn)題。設(shè)),(~ mnp??,令 1/( ( 1 ) 2 ) l n l n tV n m p m? ? ? ? ? ? ? ? ? ( 3. 14 ) 則V近似服從)(2 pm?分布。因此當(dāng)pn ??,由樣本值計(jì)算出 ? 值,若22 l n?????即 2 /2e ??? ?? ,則拒絕0H,否則接受0H。從k個(gè)總體分別取in個(gè)樣本 ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 2( , , , )i i i ia a a a pX X X ??X ki ,1 ??;ina ,1 ?? 這里1kiinn???為總樣本容量。 ? R ao 后來(lái)又研究用F分布來(lái)近似。 表 3. 1 ?與F統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系 p 1n 2n F統(tǒng)計(jì)量及分別 任意 任意 1 11111 1 ( , , 1 )~ ( , 1 )( , , 1 )n p p nF p n pp p n? ? ? ?? ? ?? 任意 任意 2 11111 ( , , 2)~ ( 2 , 2( ) )( , , 2)pnnpF p n pp pn?????? 1 任意 任意 1 1 2212 1 21 ( 1 , , )~ ( , )( 1 , , )n n nF n nn n n???? 2 任意 任意 121212 121 ( 2 , , )1~ ( 2 , 2( 1 ) )( 2 , , )nnnF n nn nn?????? 以上幾個(gè)關(guān)系式說(shuō)明對(duì)一些特殊的 ? 統(tǒng)計(jì)量可以化為 F 統(tǒng)計(jì)量,而當(dāng)22 ?n,2?p時(shí),可用2?統(tǒng)計(jì)量或 F 統(tǒng)計(jì)量來(lái)近似表示,后面給出。 (一)單因素方差分析的基本思想及 Wilk s 分布 設(shè)k個(gè)正態(tài)總體分別為21( , )N ??,,? 2( , )kN ??,從k個(gè)總體取in個(gè)獨(dú)立樣本如下: 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12 , , , nX X X ?? ( ) ( ) ( )12 , , , kk k knX X X kH ??? ??? ?210 : 1 ijH i j ????: 至 少 存 在 使 假設(shè)0H成立時(shí), 構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 ( 1 )~ ( 1 , )()S S A kF F k n kS S E n k?? ? ?? ( 1 ) ? 這里21()kii
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