【正文】 ? ?? ? ? ?2 2 22202411c os2212ax ax ibx ax ibxibbaxaae bx dx e e dx e dxe e dx? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ??????? ?????????? ? ??80 2222222 2440211c o s22biibibbb aaxzxa x a za aaabiae b x d x e e d x e e d z?????? ?????? ???? ???? ? ? ?? ?????? ? ?RR?2 2 2221biat a za z a z tbiae dz e dz e dtaa??????? ? ?? ? ? ?? ? ?? ???? ?? ? ?22 401c o s2bax ae b x d x ea?? ?? ??81 類型四 無窮積分 實軸上有單極點 ? ?f x dx????x y O R?RRCC?? ??????? ? ? ?2 R e sRRC R C Cf z d z I i f z??????????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?上 半 平 面? ? ? ?Re sCf z d z i f???? ? ??? ? ? ? ? ?2 R e s R e sI f x d x i f z i f? ? ????? ? ? ? ???上 半 平 面? ? ? ? ? ?2 R e s R e sf x d x i f z i f? ? ????? ? ? ????上 半 平 面 實 軸 上? ??83 例 0s in x dxx??0s in 12ixxed x d xx i x???????2?? ?? ?0 0 0 0 00 0 0 000ix ix ix ix ix ixix it ix ixix ix ixe e e e e edx dx dx dx d xx x x x xe e e edx dt dx dxx t x xe e edx dx dxx x x? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?0s in 12ixxed x d xx i x???????84 特殊補充例 計算菲涅耳積分 210s inI x d x?? ? 220c osI x dx?? ?2210ixI iI e d x??? ?4?RRCxyo2 0izCe d z ??? ? ? ?2422 0 400iRRiei x i z iCRe d x e d z e d e????? ? ?? ? ?? ? ? ?24 2200 4 4 4 40 2iiei i i iRRe d e e e d e e d e??? ? ? ? ? ??? ? ????? ? ? ? ?? ? ?? ?1 8i ?? ? ?85 4?RRCxyo2 0RizCe d z ??下面證明： ? ? ? ?2224222 1221122R R RiRiziz izC C CReiz izR Cee dz d iz d eiz ize e diz iz??????? ????? ? ??4 2 2 22411 02 2 2 2 2iReR i R RiziRe e eei z i R e i R R R????? ? ? ? ?2 2 22s i n 2 c o s 22 2 212 2 2R R Ri z R i Ri z iiC C Ceee d d z R e i di z i z i R e???? ???????????? ? ?244s in 20011 02 2 2 4ReddR R R?? ? ????? ? ? ???86 ? ? ? ?2422 0 400iRRiei x i z iCRe d x e d z e d e????? ? ?? ? ?2 0RizCe d z ??? ? ? ? ? ?240 4 18iie iRe d e i?? ? ?? ? ? ??? ?2018Rixe d x i ????2 220 0 0c o s s inR R Rixe d x x d x i x d x??? ? ?20c os8x dx ???? 20s in8x d x ????87 本章小結(jié) ? 概念 – 留數(shù)：回路積分留下的數(shù)； ? 計算 – 單極點： – M階極點： – 本性奇點： ? 應用 – 直接應用 ? 計算回路積分； – 間接應用 ? 計算三角有理式的積分； ? 計算有理式的廣義積分及其推廣。 則函數(shù) 可表為傅里葉積分，且 ? ? ? ?? ?1 002 f x f x? ? ? ?傅 里 葉 積 分 值? ?fx? ??? ?，? ?fx? ? ? ? ? ?? ?0c o sf x C dx???? ???? ??振幅譜與相位譜 114 對稱形式的傅里葉變換 ? ? ? ? ? ?0011 c o s s i nf x A x d B x d? ? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?1 c o sA f d? ? ? ? ?? ??????? ? ? ?1 s i nB f d? ? ? ? ?? ??????? ? ? ? ? ?00c o s s i nf x A x d B x d? ? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?1 c o sA f d? ? ? ? ?? ??????? ? ? ?1 s i nB f d? ? ? ? ?? ??????115 例 1 矩形函數(shù) 指的是 rectx 11 2r e c t0 12xxx?????? ??? ?????????試將矩形脈沖 展為傅里葉積分。 則級數(shù)收斂，且 ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?1 002f x xf x f x x????? ? ???在 連 續(xù) 點級 數(shù) 的 和在 間 斷 點? ?fx98 例二 已知 ，作傅里葉級數(shù)展開。單極點、 m階極點 本性奇點 58 本章小結(jié) ? 復數(shù)項級數(shù) ? 冪級數(shù) ? 解析函數(shù)的泰勒展開 ? 羅朗級數(shù)展開 ? 孤立奇點 – 可去奇點； – (n階 )極點； – 本性奇點。 解析延拓 49 167。 復數(shù)項級數(shù) 1 2 31nnw w w w??? ? ? ? ?1 2 3nnS w w w w? ? ? ? ?部分和 lim nnSS???1．級數(shù)的定義 2．級數(shù)收斂的必要條件 lim 0nn ??? ?3．絕對收斂 1 2 31nnw w w w??? ? ? ? ?絕對收斂則一定收斂，收斂不一定絕對收斂。 解： ???iiADdeedzz ??? ?? 01 i???dzzdzzdzzdzz CDBCABAB C D 1111 ???? ???? ???drrdeedrraiia 11 101 ?????? ? ???i???????iiAD deedzz??? ?? 21 i??27 167。 ? ?w f z?二、解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關系 調(diào)和函數(shù)： 2222 0uuxy??????? ?,u x y則 為二維調(diào)和函數(shù) 解析函數(shù)的實部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。 復數(shù) ? 數(shù)的概念的擴展 —— 自然數(shù) —— 減法不封閉 → 整數(shù) —— 除法不封閉 → 有理數(shù) —— 正數(shù)的指數(shù)運算不封閉 → 實數(shù) —— 負數(shù)的指數(shù)運算不封閉 → 復數(shù) 221i ?5 iyxz ??1．復數(shù)和復數(shù)的代數(shù)式 2．復平面 實軸和虛軸 O x y z φ ρ Re zx?Im zy?Real part Imaginary part 6 ? ???? s inc o s iz ??ize????A rgz ???2a r g0 ?? z22 yx ???3．復數(shù)的三角式 指數(shù)式 (主輻角 ) 4．無窮遠點 零點，輻角沒有定義。 2. （ 2）（ 3）（ 8） 3. 167。 復變函數(shù)的導數(shù) ? ? ? ? ? ?0l imz f z z f zdffz dz z?? ? ? ?? ?? ?yuxvyvxu??????????? , 一、復變函數(shù)的導數(shù)的定義 柯西 黎曼方程 （柯西 黎曼條件） 二、求導法則和導數(shù)基本公式 三、復變函數(shù)導數(shù)存在的必要條件 充分條件： 連續(xù)，滿足科希 黎曼條件 15 四、極坐標系中的科希 黎曼條件 1 1 , u v v u? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?16 167。 4 習題 2 23 167。 21 ( )()2 ( )Lff z diz? ???? ? ??()fz?? ??)()3( zf?? ?? dzfinzf L nn ? ??? 1)( )( )(2 !)(43 2 1 ( )2 ( )Lf diz? ???????32 1 ( )2 ( )Lf diz? ??????推論二 模數(shù)原理 f(z)在閉區(qū)域解析，則 |f(z)|在邊界上取最大值 35 模數(shù)原理的證明 ? ? ? ?12 nnlff z diz? ???????????? ??? ?? ?12nnlff z dz???????????????設 在邊界上的極大值為 ， 的極小值為 ，邊界 的長為 ，則 ? ?f ? M z??? l s? ?? ?1 1 12 2 2nnnnllf MMf z d d sz???? ? ? ? ? ?????? ? ????????? ?12nsf z M?????????令 n ?? ? ?f z M?36 推論三 劉維爾定理 全平面上有界的解析函數(shù)必為常數(shù)。替換函數(shù)在原定義域上與替換前的函數(shù)相等。 ? ?? ?2321 1 1 111111z z zz z z z zzzz? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?0 0z ? ? ?1zf z e?例 6 在 為中心把 展開為洛朗級數(shù)。 88 第五章 傅里葉變換 ? 傅里葉級數(shù) ? 傅里葉積分與傅里葉變換 ? δ函數(shù) ? 本章小節(jié) 89 本章作業(yè) 作業(yè)： p72——