【正文】 f a function has a tangent at point c, then there is no “jump” on the graph at that point, thus is continuous there. 函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系 定理 . 證 : 設 在點 x 處可導 , 存在 , 因此必有 其中 故 0??x所以函數(shù) 在點 x 連續(xù) . 注意 : 函數(shù)在點 x 連續(xù)未必可導 . 反例 : xyoxy ?在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導 . 即 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設 存在 , 則 ._ _ _ _ _ _ _ _)()(lim 000???? hxfhxfh3. 已知 則 )( 0xf ??0k4. 若 時 , 恒有 問 是否在 可導 ? 解 : 由題設 由夾逼準則 故 在 可導 , 且 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ? Rules for Finding Derivatives 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù) ??)(C 0 ??)( ?x 1??? x??)(s in x xcos ??)(c o s x xsin???)(ta n x x2sec ??)(c o t x x2csc???)(s e c x xx ta ns e c ??)(c sc x xx c o tc s c???)( xa aa x ln ??)( xe xe??)( lo g xa axln1 ??)(ln x x1??)(a rc s in x 21 1 x? ??)(a rc c o s x 21 1 x????)(a rc ta n x21 1x? ??)c o t(a rc x 21 1x??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 . 求橢圓 在點 處的切線方程 . 解 : 橢圓方程兩邊對 x 求導 8x yy ???92 0?y?? 2323??xy yx169??2323??xy 43??故切線方程為 323?y 43?? )2( ?x即 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 四則運算求導法則 定理 . 的和、 差、 積、 商 (除分母 為 0的點外 ) 都在點 x 可導 , 且 下面分三部分加以證明 , 并同時給出相應的推論和 例題 . )0)(( ?xv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 此法則可推廣到任意有限項的情形 . 證 : 設 , 則 vuvu ?????? )()1()()()( xvxuxf ??hxfhxfxfh)()(lim)(0?????hxvxuhxvhxuh])()([])()([lim0???????hxuhxuh)()(lim0???? hxvhxvh)()(lim0????)()( xvxu ???? 故結論成立 . 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例如 , (2) vuvuvu ?????)(證 : 設 ,)()()( xvxuxf ?則有 hxfhxfxfh)()(lim)(0????? hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0????故結論成立 . )()()()( xvxuxvxu ??????? ???? hhxuh )(lim0)(xu )( hxv ? ?????hxv )( )(xu )( hxv ?推論 : ??)()1 uC??)()2 wvuuC ?wvuwvuwvu ???????)lo g()3 xa??????? axlnln ax ln1?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( C為常數(shù) ) ???????? ? )()( lim0 xvhxvh)()()()()()(xvhxvhxvxuxvhxu????h)()( xvxu?(3) ? ? 2v vuvuvu ?????證 : 設 ?)(xf 則有 hxfhxfxfh)()(lim)(0????? hh lim0??,)( )(xv xu)()(hxvhxu??)()(xvxu?hhxu )( ? )(xu? )(xvhhxv )( ?)(xu? )(xv?故結論成立 . )()()()()(2 xvxvxuxvxu ????推論 : ? ? 2vCvC ????機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ( C為常數(shù) ) 例 . 解 : xsin4?1(21 )1sin?,)1s i nc o s4( 3 ??? xxxy??y )( ?xx????? )1s inc o s4(2 1 3 xxx 23( xx )?? ?1xy 1cos4? )1s in43( ??1c o s21sin2727 ???)1s i nc o s4( 3 ?? xx)1s i nc o s4( 3 ??? xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 有限次四則運算的求導法則 ??? )( vu vu ??? ??)( uC uC ???)( vu vuvu ??? ? ? ??vu2vvuvu ???( C為常數(shù) ) )0( ?v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ? Derivatives of Trigonometric Functions Formula .)( s i n)( s i n,s i n)(4????? xxxxxf 及求設函數(shù) 解 h xhxx h s in)s in (lim)( s in 0 ???? ?22s i n)2c os (l i m0 hhhxh???? .cos x?.c o s)( s in xx ??即44c os)( s i n ???????xxxx .22?f’(sin x ) = cos x f’(cos x) =