【正文】 ?????????? ? ? ? ? ?xExxVxm ?? ??????? ????222?? ? ? ? ? ?zyxEzyxzyxVzyxm ,2 222222 ?? ??????? ?????????????????? ?第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (4) 定態(tài) Schr246。dinger方程。 nn n)( ΨaxΨ ??第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. Schr246。dinger方程 1. 本征函數(shù)的正交性及歸一性 假設(shè) Ⅲ ：若某一力學(xué)量 A的算符 作用于某一狀態(tài)函數(shù) Ψ后， 等于某一常數(shù) a 乘以 Ψ ，即 Ψ= aΨ ，那么對(duì)于 Ψ 所描述的這樣一個(gè)微觀體系的狀態(tài)，其力學(xué)量 A具 有確定的數(shù)值 a ， a 就稱(chēng)為力學(xué)量算符 的本征值， Ψ稱(chēng)為 的本征態(tài)或本征函數(shù)； Ψ= aΨ 稱(chēng)為 的本征方程。 若算符 作用在任意兩個(gè)函數(shù) 和 的代數(shù)和 [ + ]上的結(jié)果等于這一算符 分別作用在 和 上的代數(shù)和 + 上，即 ?A 2()ux1()ux2()ux1()ux2()ux1()ux2()ux1()ux?A?A? ? )(A?)(A?)()(A? 22112211 xucxucxucxuc ???2. 線性算符 ddx x??算符 和 都是線性的， Sin, log 和 不是線性算符 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 3. 厄米算符（自軛算符） 如果算符 對(duì)于任意函數(shù) 下式成立 就稱(chēng)算符 為厄米算符 ?A?? ?? ?AAdd? ? ? ? ? ??? ????A例 1：乘號(hào)“ ?”為厄米算符。 單值、連續(xù)、有限（平方可積） 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 二、力學(xué)量和算符 1. 算符： 假設(shè) Ⅱ ：對(duì)于微觀體系的每一個(gè)可觀測(cè)力學(xué)量都對(duì)應(yīng)著一個(gè) 線性厄米算符。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (1) 描述光或?qū)嵨锪Ｗ拥亩笮詴r(shí)，不同的性質(zhì)采用不同的函數(shù)： 描述粒子性的函數(shù)： E， P， ρ 描述波動(dòng)性的函數(shù)： hν ， h/λ ， |Ψ |2 |Ψ |2=|Ψ * Ψ|， Ψ = f + i g， Ψ *= f – i g Ψ的物理意義：在時(shí)間 t在坐標(biāo) x、 y、 z附近小體積元 dτ 內(nèi)找到粒子的 幾率與波函數(shù) Ψ(x， y， z， t)的絕對(duì)值的平方成正比。 hP第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 三、測(cè)不準(zhǔn)原理 1. 內(nèi)容： 2. 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式 微觀粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量是不能同時(shí)具有確定值的。 de Brolie假設(shè)：二象性并不是一個(gè)特殊的光學(xué)現(xiàn)象，而是具有普遍的意義。 2hmc??1905年 Einstein提出光子說(shuō)，成功解釋了光電效應(yīng)現(xiàn)象。不同金屬有不同的臨閥頻率。s1的速度向外傳播著，這稱(chēng)為電磁波。 2 光的波粒二象性 一、波動(dòng)說(shuō)及光的電磁理論 1. 光的干涉 波動(dòng)說(shuō)：光是一種電磁波，波長(zhǎng)不同，顏色不同。 1913， Bohr提出了原子結(jié)構(gòu)的 Bohr理論 ： ① 假定電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)能穩(wěn)定存在； ② 在一定的軌道上運(yùn)動(dòng)的電子有一定的能量 —— 定態(tài)； ③ 定態(tài)能量只能取一些分立的數(shù)值，是量子化的； ④ 原子由一種定態(tài) (Em)變到另一種定態(tài) (En)過(guò)程中發(fā)射或吸收電磁波； ⑤ 電磁波的頻率 v由決定： |EmEn|=hv。 光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象 —— 能否產(chǎn)生光電流及光電子的運(yùn)動(dòng)能大小只與光的頻率有關(guān)，與光的強(qiáng)度無(wú)關(guān)。 黑體輻射定義 —— 當(dāng)將黑體加熱時(shí)能發(fā)射出 各種波長(zhǎng)的電磁波。s1，此時(shí) amF ?② 服從 相對(duì)論力學(xué)的宏觀體系： v c， 此時(shí) amF ?： 質(zhì)量 m和能量 E在數(shù)量上的聯(lián)系 2E mc?第一節(jié) 經(jīng)典物理學(xué)與舊量子論的局限 167。第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 167。 1. 宏觀體系 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 2. 微觀體系 服從量子力學(xué)。 經(jīng)典電磁理論的解釋 —— 假定黑體輻射是由 黑體中帶電粒子振動(dòng)發(fā)出的。 經(jīng)典理論觀點(diǎn) —— 認(rèn)為是光的強(qiáng)度而不是光的頻率決定了能否產(chǎn)生光電流 及光電子的動(dòng)能的大小，頻率只決定光的顏色。 推廣 ： Sommerfeld推廣了 Bohr理論， 制定更為普遍的量子化條件。 圖 11 光的干涉 波動(dòng)說(shuō)可以解釋?zhuān)趦蓚€(gè)波峰或波谷相遇的地方相互加強(qiáng)，在一個(gè)波峰與另一個(gè)波谷相遇的地方，兩波相互削弱。 光是一種波長(zhǎng)約為 103 ? 105 cm的 電磁波 ，可見(jiàn)光是波長(zhǎng)約為 4 105 cm ? 105 cm的電磁波。 0???0?0?② 光電子的初動(dòng)能隨著光的頻率直線增加 ， 而與光的強(qiáng)度無(wú)關(guān) 。光子說(shuō)要點(diǎn)： hhP m ccc????③ 光子還具有一定的動(dòng)量： ④ 光的強(qiáng)度取決于光密度 ρ —— 單位體積內(nèi)光子的數(shù)目 。 實(shí)物粒子也具有波動(dòng)性，表征實(shí)物粒子粒子性的物理量 E 和 P與表征波動(dòng)性的物理量 v和 λ 之間的關(guān)系： Eh??de Brolie關(guān)系式： ，其中 不適用于光。 波動(dòng)性粒子的特點(diǎn) —— 不能在同一時(shí)刻具有確定的坐標(biāo)和動(dòng)量，它的某個(gè)坐標(biāo)被確定的越準(zhǔn)，則在此方向上的動(dòng)量分量就越不準(zhǔn)，反之亦然。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) (2) 幾率： 空間某一小體積元 dτ 內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子數(shù)的多少 dτ 為 x到 x+dx， y到 y+dy， z到 z+dz區(qū)域 ， dw (x， y， z， t)表示在時(shí)間 t和空間 dτ內(nèi)找到電子的幾率 ， 則： d d x d y d z? ? ? ?2( , , , ) ( , , , )d w x y z t K x y z t d???K是比例常數(shù)。 規(guī)定了某種運(yùn)算的符號(hào)稱(chēng)為算符，或稱(chēng)為算子 力學(xué)量算符化規(guī)則： （ 1）坐標(biāo) q(x,y,z)和時(shí)間 t所對(duì)應(yīng)的算符就是坐標(biāo)和時(shí)間自身。 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 4. 線性厄米算符 如果一個(gè)算符即是線性的又是厄米的，則這個(gè)算符就是線性厄米算符。 A?A?A?A? A? A?若： ，則函數(shù) Ψ1(x)和 Ψ2(x)彼此正交。dinger 方程 牛頓第二定律對(duì)于速度遠(yuǎn)小于光速的宏觀物理現(xiàn)象是正確的。 量子力學(xué)可以證明， E就是粒子的能量， E=T+V。dinger方程也叫能量有確定值的本征方程； (5) 滿足本征方程的波函數(shù)一定是品優(yōu)波函數(shù)； (6) 退化度（簡(jiǎn)并度）：若有 f 個(gè)線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù) ψ， 對(duì)應(yīng)于同一 個(gè)本征值 E， 那么這些線性無(wú)關(guān)的本征函數(shù)個(gè)數(shù) f 叫簡(jiǎn)并度，而說(shuō) 本征值 E是簡(jiǎn)并的。 (1) Zeeman效應(yīng) —— 磁場(chǎng)中觀察到的光譜譜線出現(xiàn)分裂的現(xiàn)象。這種粒子組成的體系，其波函數(shù)必須是 反對(duì)稱(chēng)的。 222( ) 2 ( ) 0d x m E xdx? ???即 222 0mEr ??其特征方程為 22 2m E ir i m E? ? ? ? ?其特征根為 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 39。 39。 ????????axSi nax?? 2)(1221 8mahE ?一維箱中兩個(gè)相鄰能級(jí)間隔： 221 8)12(mahnEEEnn??????討論： m較大、 a也較大時(shí)，量子化不顯著 m較小、 a也較小時(shí)，量子化顯著 由于一維箱中粒子的勢(shì)能 V = 0， 所以粒子的能量全部為動(dòng)能。dinger方程 分解成三個(gè)一 維箱中粒子 Schr246。 ,x y zn n n, ( , , )x y zn n n x y z?,x y zn n nE,x y zn n n222x y znnn??例如，狀態(tài) 的能量都是 ，因此，能級(jí) 是簡(jiǎn)并的，其簡(jiǎn)并度為 3。2c o s121)s i n。c o ss i ns i n)。若有，求它們的確定值；若沒(méi)有，求它們的平均值。8xx xxn x n hx S in E naa ma?? ??? ? ? ?????222 22( ) , , 1 , 2 , 。 (4) ψ 可以 、 =或 0。, B =A A B A B i? +令： 22() m E m Ex A C o s x B S in x? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?于是 邊界條件：當(dāng) x ≤ 0 和 x ≥ a 時(shí)，波函數(shù)必須等于零，即 ( 0 ) ( ) 0a????由 ψ(0)=0得： A cos0 + B sin0 = 0， 所以： A = 0 2() mEx B S in x? ????????這樣 第一章 量子力學(xué)基礎(chǔ) 2 0mEB S in a????????又由 ψ(a) = 0得： 2 0mES i n a????????B不能為 0，欲使上式成立，則 ， n = 1， 2， 3， …… 。( ) e x p 2 e x p 2iix A m E x B m E x? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?通解為 ? ? ? ?39。它們不受 Pauli禁律的約束。 例如，一個(gè) 2粒子體系，其狀態(tài)可用波函數(shù) ψ(q1, q2)描述， (q2, q1)代表粒子 1和粒子 2交換坐標(biāo)后的狀態(tài)。 (2) 例如，原子中的電子可能存在于 s或 p軌道，將 s與 p軌道的波函數(shù)線性組合為雜化軌道后也是電子可能的軌道。dinger方程的幾點(diǎn)說(shuō)明： (1) Schr246。dinger方程來(lái)表達(dá)： 22( , , , ) ( , , , ) ( , , , )2x