【正文】 用矩陣對角化的方法證明高代里的一些問題 第一種情況：利用對于任意一個 n級實對稱矩陣 A，都存在一個 n級正交矩陣 T，使 39。其中 1a ， 2a ， ? , sa 互不相同，且 1r +2r +? + sr =n. (1)先證必要性。由于 r〔（ IA） +（ I+A） 〕≤ r（ IA） + r（ I+A） ，得到 n≤ r（ IA） + r（ I+A） 。證畢。證法類似）時，有1T? ()wE A? T=10kkn??????????????。 先證必要性。 第二種情況：用 定理 2來做 下面 證明題。 定理 3：若 A的每一個特征值的幾何重數(shù)和她的代數(shù)重數(shù)相等，則 A可對角化。 證：（ 1）由于 A可對角化，因此存在可逆陣 T，使 A= 1T? 11kkII????????T，其中 1I ， ? , kI 均為 1n ， ? , kn 階單位陣，且 1n +2n +? +kn =n。則 A=LDU 其中L 為單位下三角矩陣（對角線元素都是 1 的下三交矩陣）， D 為對角矩陣， U 為單位上三角矩陣。A= 1nnAaba??????= 11nnpq aba??????. 1101nEbQ?????????11 001p???????11nnp q aba?????? = 11139。利用以上結(jié)論可以證明一些例題。 例 1：設(shè) n級矩陣 A的順序主子式都不等于零，則 A可以唯一的分解成 A=LDU的形式，其中 L為單位下三角矩陣（對角線元素都是 1的下三角 矩陣）， D為對角矩陣， U為單位上三角矩陣。0nnQ p aa???????。下證 A=LDU 分解的唯一性。令iA = 1T?00iI????????T，（ i=1,2， ? ,k） ,則 2iA = iA ，（ i=1,2， ? ,k），此即 iA 為冪等陣。 第一種情況：用 定理 1來做 下面 證明題。 例 4：設(shè) n階方陣 A的 n個特征值互異，又設(shè) n階方陣 B滿足 AB=BA，證明 B可對角化。設(shè) 11nT A T??????????。從而 1T? 2()wE A? T= 212()0()kkn??????????????仍有秩 ()wE A? =秩 2()wE A? 。 第三種情況：用 A可對角化的充分必要條件（ 3） A的每一個特征值的幾何重數(shù)和她的代數(shù)重數(shù)相等來做一些證明題。另一方面，有（ IA） （ I+A） =0，得到 r（ IA） + r（ I+A） ≤ n。設(shè) A相似與對角陣，即存在可逆陣 T=（ 12, ,..., n? ? ? ），使 1T? AT=1212rrssraEaEaE????????則 1T? （ 1a EA）= 21210()()rssra a Ea a E????????.所以秩（ 1a EA） =2r +? + sr =n1r 。T AT = 1T? AT成對角形。事實上，存在正交陣 P，使 1P? AP=39。iB = iB （ i=1， 2， ? ,n），從而存在正交陣 iQ ，使39。 例 2：設(shè) A,B 都是 n階正定矩陣，證明：如果 AB正定 ，則 11BA??? 也是正定矩陣。P AP= 39。 1 1 1(( ) )PP? ? ? =P 39。 設(shè) A,B均為 n級正定矩陣， , 1,2,...,ia i n? 為 A的 n個特征值，, 1, 2,...,jb j n? 為 B的 n個特征值。還有存在正交陣 P,Q使 39。 ()X A cE dE B X? ? ?= 39。由 A cE dE B? ? ? 為正定矩陣知 dc+is 0, 1,2,...,in? .即 is cd0, 1,2,...,in? 。()BA? = 39。P , B 1rC? =P0000ra??????????39。 解：由于 A的特征多項式為∣ aEA∣ = 1 4 20 3 40 4 3aaa? ? ?????=(a1)( 2a 25),故 A的特征值為 1 2 31, 5, 5a a a? ? ? ?。112 22( , )? ???？汕蟮?|aEA|= 2( 2)a? （ a+7）于是 A的特征值為 1a = 2a =2， 3a = 1a = 2a =2的特征向量為12( 2 , 1 , 0) , ( 2 , 0 , 1 )TTpp? ? ?，將其正交化再單位化得52 1 2 4125 5 3 5 3 5 3 5( , , 0 ) , ( , , )TTqq???又對應(yīng) 3a =7的特征向量為1 2 23 3 3 3( , , )Tq ? ? ? ，故2 2 135 3 51 4 235 3 55 23350T???????????1 2 22 2 42 4 2??????????2 2 135 3 51 4 235 3 55 23350???????????= 2 27???????。2 (1, 1,1)a ?? ，當(dāng) ? =1時，得特征向量 39。帶入 dxdt =Ax ，得 pdydt =APy，即 dydt =（ 1P? AP） y=vy寫成分量形式為 1dydt =71y ， 2dydt =7 2y ， 3dydt =2 3y 解得 1y = 71 tce ，2y = 72 tce ， 3y = 23 tce? （ 1 2 3,c c c 為任意實數(shù)）故由 x=Py，得7 7 21 1 2 3722 1 3723 2 3222t t tttttx c e c e c ex c e c ex c e c e???? ? ? ? ?????? ???（ 1 2 3,c c 為任意實數(shù)）。 解：這 里 n=5， ? =4是 A的 5重特征值，直接計算可得 3( 4 )AE? =0 。 （ 2）令 P=? ?12??= 4111???????，則由 |P|=5≠ 0知 12,??線性無關(guān)。 （ 3） 11nnxy????????=A nnxy??????= 2A 11nnxy????????=? = nA 11xy??????= nA 1212??????由 1PAP? = 1200? ???????，有 A=P 1200? ???????1P? 。 例 1：某實驗性生產(chǎn)線每年一月份進行熟練工與非熟練工的統(tǒng)計，然后將 1/6熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其 缺額由招收新的非熟練工補齊。x =Ax的基解矩陣，且 (0)? =E， 利用對角矩陣可以較容易的解決一些求基解矩陣的問題。將它們單位化得111362121 2 3361 112 360 , ,? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ??？芍猣(1x ,2x ,3x )=1 表示旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。P AP= 3001???????。由基 1, 2 3,ee e 到基 1 2 3,bb b 的過渡矩陣為 Q= 1 2 10 1 20 2 1???????由此可得 1Q? AQ= 1 55???????，1Q? kA Q=155k???????= 1 5( 5)kkk???????。P ， ? ， 1rC? = 2rC? + P10000ra ???????????39。A =BA,從而BA為對稱矩陣。 第二種情況：利用對于任意一個 n級實對稱矩陣 A，都存在一個 n級正交矩陣 T，使 1T? AT成對角形。X ()dE B? X0,且39