【正文】 A=90176。 故答案為： 30176。 ∴ ∠ C=∠ AOB=30176。﹣ 25176。 1 (2022天津南開區(qū) 二模 )點 P 為 ⊙ O 內一點，過點 P 的最長的弦長為 10cm，最短的弦長為 8cm，那么 OP 的長等于 3 cm． 【考點】 垂徑定理；勾股定理． 【分析】 根據直徑是圓中最長的弦，知該圓的直徑是 10cm；最短弦即是過點 P 且垂直于過點 P 的直徑的弦；根據垂徑 定理即可求得 CP 的長，再進一步根據勾股定理，可以求得 OP的長． 【解答】 解：如圖所示， CD⊥ AB 于點 P． 根據題意，得 AB=10cm， CD=8cm． ∵ CD⊥ AB， ∴ CP=CD=4cm． 根據勾股定理，得 OP= = =3（ cm）． 故答案為： 3． 【點評】 此題綜合運用了垂徑定理和勾股定理．正確理解圓中，過一點的最長的弦和最短的弦． （ 2022；（圓周角定理） 在 Rt△ AHD 中， ∠ DAH=30176。 新疆烏魯木齊九十八中 =60176。 ∵ AD∥ OC， ∴ ∠ BAD=∠ AOC=50176。 B． 30176。由于⊙ O的直徑 AB垂直于弦 CD，根據垂 徑定理得 CE=DE，且可判斷△ OCE為等腰直角三角形，所以 CE= OC=2 ，然后利用 CD=2CE進行計算． 【解答】 解：∵∠ A=176。一模）一個圓形人工湖如圖所示，弦 AB 是湖上的一座橋，已知橋AB長 100m，測得圓周角∠ ACB=45176。 ∴ ∠ AOC=2∠ D=70176。 B． 55176。 ． （ D） 100176。= ， 故 ③正確； ∵ ∠ AOB=60176。山東棗莊模擬 )如圖，在半徑為 6cm 的 ⊙ O 中，點 A 是劣弧 的中點，點 D是優(yōu)弧 上一點，且 ∠ D=30176。 ∴ AB=OB， ∵ 點 A 是劣弧 的中點， ∴ AC=AB， ∴ AB=BO=OC=CA， ∴ 四邊形 ABOC 是菱形， 故 ④正確． 故選： B． 【點評】 本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強 ，是一道好題． (2022 ． ODCBA 答案： D （ 2022 C． 65176。 ∴ ∠ OAC=（ 180176。則這個人工湖的直徑 AD為（ ） A． B． C． D． 【分析】 連接 OB．根據圓周角定理求得∠ AOB=90176。 ∴∠ BOC=2∠ A=45176。 C． 40176。 故選 D． 【點評】 本題考查的是圓周角定理，以及平行線的性質，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解答此題的關鍵． 1 （ 2022故 x 的取值范圍是 30≤x≤60． 【解答】 解：開始移動時， x=30176。一模 )如圖，已知 ⊙ O 的直徑 AB 為 10，弦 CD=8，CD⊥ AB 于點 E，則 sin∠ OCE 的值為 （ ） A． B． C． D． 【考點】 垂徑定理；解直角三角形． 【分析】 由 AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB，根據垂徑定理，可求得 CE 的長，然后由勾股定理即可求得 OE，繼而求得 sin∠ OCE 的值． 【解答】 解： ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB， ∴ CE= CD= 8=4， OC= AB= 10=5， ∴ OE= =3， ∴ sin∠ OCE= = ． 故選 B． 【點評】 此題考查了垂徑定理、勾股定理以及三角函數．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用． 二、填空題 (2022 AD=4 ，則 DH=CH=2 ； 在 Rt△ OCH 中， ∠ COH=60176。吉林東北師范大學附屬中學二模） 如圖，已知 AB 是 ⊙ O 的直徑，弦 CD⊥ AB， AC=2 ， BC=1，那么 cos∠ ABD 的值是 ． 考點：與圓有關的概念及性質 答案： 試題解析： ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ACB=90176。 新疆烏魯木齊九十八中 =65176。． 故答案為 30． 【點評】 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的性質． 1 (2022． 【點評】 本題考查的是垂徑定理和圓周角定理，垂直弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧、等弧所對的圓周角相等是解題的關鍵． 三、解答題 如圖， AB 是⊙ O 的直 徑、 C 是 AB 延長線上一點， CD 與⊙ O 相切于點 E , AD CD?于點 D . (1)求證 :AE 平分 DAC? 。﹣ ∠ ABC=20176。 AD=5， ∴ AB=10， ∴ BF=10 ； 扇形 DOE 的面積 = = π； （ 3）解：連接 OC，則圓心距 OC=5 ， 由題意得， 5 ﹣ 5＜ r＜ 5 +5， 故答案為： 5 ﹣ 5＜ r＜ 5 +5． (2022上海浦東 又因為 AB 為直徑 ∴ ∠ ACB=90176?！?AMB=30176。 廣東 深圳 ∠ CAE=∠ EDC，所以 △ ACP∽ △ DEP；求弦 DE 的長有兩種方法： 一，利用 △ ACP∽△ DEP 的相似比 求 DE 的長； 二、過點 D 作 DF⊥ AE 于點 F，利用 Rt△ DFE 中的勾股定理求得 DE 的長． 【解答】 解：（ 1） ∵ ∠ ACD=45176。河北石家莊 ∴ △ ACB∽ △ 0NP ∴ = ， 又 ∵ AB=13 AC=5 OP= ， 代入得 ON= ， ∴ AN=OA+ON=9 ∴ 在 Rt△ OPN 中，有 NP2=0P2﹣ ON2=36 在 Rt△ ANP 中 有 PA= = =3 ∴ PA=3 ． 【點評】 本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質，相似三角形的判定和性質，作出輔助線是本題的關鍵． (2022 ， OA=4， OC=3，求弦 AB 的長． 解：過點 O 作 OD⊥ AB 于 D 在 Rt△ AOC 中，2 2 2O A O C AC??， AC = 5 在 Rt△ AOC 中，4C O S 5OAO AC AC? ? ? ； 在 Rt△ ADO 中，S DAAD AO??， 所以AD OAAO AC?，165AD. 因為在⊙ O 中， OD⊥ AB， 所以 AB=2AD= 5162?， 所以 AB=325． （ 2022模擬 )如圖，已知 △ ABC 內接于 ⊙ O，且 AB=AC，直徑 AD 交 BC 于點 E， F 是 OE 上的一點，使 CF∥ BD． （ 1）求證： BE=CE； （ 2）試判斷四邊形 BFCD 的形狀，并說明理由； （ 3）若 BC=8， AD=10，求 CD 的長． 【考點】 垂徑定理；勾股定理；菱形的判定． 【分析】 （ 1）證明 △ ABD≌ △ ACD，得到 ∠ BAD=∠ CAD，根據等腰三角形的性質即可證明； （ 2）菱形，證明 △ BFE ≌ △ CDE，得到 BF=DC，可知四邊形 BFCD 是平行四邊形，易證BD=CD，可證明結論； （ 3）設 DE=x，則根據 CE2=DE?AE 列方程求出 DE，再用勾股定理求出 CD． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AD 是直徑， ∴ ∠ ABD=∠ A