【正文】 線才是圓，我們把形如 022 ????? FEyDxyx 的表示圓的方程稱為圓的一般方程 新疆學(xué)案王新敞 ? ?2 214xy? ? ? 我們來看圓的一般方程的特點(diǎn)： (啟發(fā)學(xué) 生歸納 ) (1)①x 2和 y2的系數(shù)相同，不等于 0． ② 沒有 xy這樣的二次項(xiàng)． (2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù) D、 E、 F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了． (3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判斷方法。 三、 教學(xué)方法： 學(xué)導(dǎo)式 四、教學(xué)過程 （一）、情境設(shè)置 在直角 坐標(biāo)系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要素又是什么呢？什么叫圓？在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一個(gè)二元一次方程來表示，那么，原是否也可用一個(gè)方程來表示呢？如果能，這個(gè)方程又有什么特征呢？ 探索研究： （二）、探索研究 確定圓的基本條件為圓心和半徑，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為 A(a,b)，半徑為 r。 （三）、拓展延伸，評(píng)價(jià)反思 應(yīng)用推導(dǎo)兩平行線間的距離公式 已知兩條平行線直線 1l 和 2l 的一般式方程為 1l ： 01 ??? CByAx ， 2l ： 02 ??? CByAx ，則 1l 與 2l 的距離為2221 BA CCd ???新疆學(xué)案王新敞 證明：設(shè) ),( 000 yxP 是直線 02 ??? CByAx 上任一點(diǎn)，則點(diǎn) P0到直線 01 ??? CByAx 的距離為22100 BA CByAxd ? ???新疆學(xué)案王新敞 又 0200 ??? CByAx 即 200 CByAx ??? ，∴ d＝2221 BA CC ?? 新疆學(xué)案王新敞 例 3 求兩平行線 1l ： 0832 ??? yx ， 2l ： 01032 ??? yx 的距離 . 解法一：在直線 1l 上取一點(diǎn) P(４， 0)，因?yàn)?1l ∥ 2l ，所以點(diǎn) P 到 2l 的距離等于 1l 與 2l 的距離 .于是 1313213232 100342 22 ??? ?????d 解法二： 1l ∥ 2l 又 10,8 21 ???? CC . 由兩平行線間的距離公式得13 3232 )10(8 22 ??????d新疆學(xué)案王新敞 （四）、課堂練習(xí) 已知一直線被兩平行線 3x+4y7=0與 3x+4y+8=0所截線段長為 3。意志品質(zhì)等方面得到了提高。 用 POWERPOINT打出平面直角坐標(biāo)系中兩直線，進(jìn)行移動(dòng)，使學(xué)生回顧兩直線的位置關(guān)系，且在直線上取兩點(diǎn)，讓學(xué)生指出兩點(diǎn)間的距離公式，復(fù)習(xí)前面所學(xué)。 思考：同學(xué)們是否還有其它的解決辦法？ 還可用綜合幾何的方法證明這道題。） 例 2 證明平行四邊行四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和。 例 1 ：以知點(diǎn) A（ 1， 2）， B（ 2， 7 ），在 x軸上求一點(diǎn)，使 PA PB? ,并求 PA 的值。 情態(tài)和價(jià)值：體會(huì)事物之間的內(nèi)在聯(lián)系，能用代數(shù)方法解決幾何問題 二、教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)： 重點(diǎn)，兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)。 （ 2）、 找出或猜想這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程，得出結(jié) 19 論。 同類練習(xí)：書本 110頁第 1， 2題。 課堂設(shè)問一：由直線方程的概念，我們知道直線上的 一點(diǎn)與二元一次方程的解的關(guān)系，那如果兩直線相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與這兩條直線的方程有何關(guān)系？ （二）、研探新知 分析任務(wù)，分組討論，判斷兩直線的位置關(guān)系 已知兩直線 L1： A1x+B1y +C1=0,L2： A2x+B2y+C2=0 如何判斷這兩條直線的關(guān)系？ 教師引導(dǎo)學(xué)生先從點(diǎn)與直線的位置關(guān)系入手，看表一，并填空。 情態(tài)和價(jià)值： （ 1） 通過兩直線交點(diǎn)和二元一次方程組的聯(lián)系，從而認(rèn)識(shí)事物之間的內(nèi)的聯(lián)系。 （ 2）比較各種直線方程的形式特點(diǎn)和適用范圍。求直線與 x 軸的截距，即求直線與x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為此可在方程中令y =0，解出 x 值，即為與直線與 x 軸的截距。 使學(xué)生體會(huì)把直線方程的點(diǎn)斜式轉(zhuǎn)化為一般式，把握直線方程一般式的特點(diǎn)。 教師概括指出：由于任何一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于 yx, 的二元一次方程表示；同時(shí)，任何一個(gè)關(guān)于 yx, 的二元一次方程都表示一條直線。 情態(tài)與價(jià)值觀 ： （ 1）認(rèn)識(shí)事物之間的普遍聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化；（ 2）用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。 教師給出中點(diǎn)坐標(biāo)公式，學(xué)生根據(jù)自己的理解，選擇恰當(dāng)方法求出邊 BC所在的直線方程和該邊上中線所在直線方程。使學(xué)生在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上獲得新結(jié)論，達(dá)到溫故知新的目的。 教師引導(dǎo)學(xué)生概括：（ 1）本節(jié)課我們學(xué)過那些知識(shí)點(diǎn)；（ 2） 直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式的形式特點(diǎn)和適用范圍是什么？（ 3）求一條直線的方程，要知道多少個(gè)條件？ 1布置作業(yè)：第 106 頁第 1 題的（ 1）、（ 2）、（ 3）和第 5題 鞏固深化 學(xué)生課后獨(dú)立完成。 掌握從直線方程的角度判斷兩條直線相互平行，或相互垂直；進(jìn)一步理解斜截式方程中 bk, 的幾何意義。 已知直線 l 的斜率為 k ，且與y 軸的交點(diǎn)為 ),0( b ，求 直線 l 的方程。 學(xué)生分組互相討論，然后說明理由。設(shè)點(diǎn) ),( yxP 是直線 l上的任意一點(diǎn)，請(qǐng)建立 yx, 與00, yxk 之間的關(guān)系。 過程與方法 ： 在已知直角坐標(biāo)系內(nèi)確定一條直線的幾何要素 —— 直線上的一點(diǎn)和直線的傾斜角的基礎(chǔ)上，通過師生探討，得出直線的點(diǎn)斜式方程；學(xué)生通過對(duì)比理解“截距”與“距離”的區(qū)別。 +α 2． 因?yàn)?L L2的斜率分別是 k k2，即α 1≠ 90176。它們互相平行； (2)當(dāng)另一條直線的斜率為 0時(shí)，一條直線的傾斜角為 90176。 而當(dāng) k = tanα 0時(shí) , 傾斜角α是鈍角 。 = tan(180176。 , k = tan0176。 1 北師大版高中數(shù)學(xué)必修 2第二章 《 解析幾何初步 》全部教案 法門高中 姚連省 167。 =0。－ 45176。 而當(dāng) k = tanα 0時(shí) , 傾斜角α是銳角 。另一條直線的傾斜角為 0176。所以α 2≠ 0176。 情態(tài)與價(jià)值觀 ： 通過讓學(xué)生體會(huì)直線的斜截式方程與一次函數(shù)的關(guān)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生數(shù) 形結(jié)合的思想，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化等觀點(diǎn)，使學(xué)生能用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題。 培養(yǎng)學(xué)生自主探索的能力，并體會(huì)直線的方程，就是 直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo) ),( yx滿足的關(guān)系式，從而掌握根據(jù)條件求直線方程的方法。 （ 1） x 軸所在直線的方程是什么？ y 軸所在直線的方程是什么？ （ 2）經(jīng)過點(diǎn) ),( 000 yxP 且平行于x 軸（即垂直于 y 軸）的直線方程是什么？ （ 3）經(jīng)過點(diǎn) ),( 000 yxP 且平行于y 軸（即垂直于 x 軸）的直線方程是什么？ 進(jìn)一步使學(xué)生理解直線的點(diǎn)斜式方程的適用范圍，掌握特殊直線方程的表示形式。 引入斜截式方程，讓學(xué)生懂得斜截式方程源于點(diǎn)斜式方程，是點(diǎn)斜式方程的一種特殊情形。 教師引導(dǎo)學(xué)生分析：用斜率判斷兩條直線平行、垂直結(jié)論。 四 、 教后反思： 11 第四課時(shí) 直線的兩點(diǎn)式方程 一、教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 ： （ 1）掌握直線方程的兩點(diǎn)的形式特點(diǎn)及適用范圍；（ 2）了解直線方程截距式的形式特點(diǎn)及適用范圍。 教師引導(dǎo)學(xué)生：根據(jù)已有的知識(shí)，要求直線方程，應(yīng)知道什么條件？能不能把問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的問題呢？在此基礎(chǔ)上，學(xué)生根據(jù)已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)，先判斷是否存在斜率，然后求出直線的斜率， 從而可求出直線方程： （ 1） )1(232 ??? xy （ 2） )(112 121 xxxxyyyy ????? 教師指出：當(dāng) 21 yy? 時(shí)，方程可以寫成 ),( 2121121121 yyxxxx xxyy yy ??????? 由于這個(gè)直線方程由兩點(diǎn)確定，所以我們把它叫直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式（ twopoint form） . 若點(diǎn) ),(),( 222211 yxPxxP 使學(xué)生懂得 教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、觀察和分析， 12 中有 21 xx? ，或 21 yy? ，此時(shí)這兩點(diǎn)的直線方程是什么？ 兩點(diǎn)式的適用范圍和當(dāng)已知的兩點(diǎn)不滿足兩點(diǎn)式的條件時(shí)它的方程形式。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生交流各自的作法，并進(jìn)行比較。 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)：直線方程的一般式。 我們把關(guān)于關(guān)于 yx, 的二元一 15 次方程 0??? CByAx （ A， B不同時(shí)為 0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式（ general form） . 直線方程的一般式與其他幾種形式的直線方程相比，它有什么優(yōu)點(diǎn)？ 使學(xué)生理解直線方程的一般式的與其他形 學(xué)生通過對(duì)比、討論，發(fā)現(xiàn)直線方程的一般式與其他形式的直線方程的一個(gè)不同點(diǎn)是： 問 題 設(shè)計(jì)意圖 師生活動(dòng) 式的不同點(diǎn)。 學(xué)生獨(dú)立完成。 在直角坐標(biāo)系中畫直線時(shí)，通常找出直線下兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。 （ 3）求直線方程應(yīng)具有多少個(gè)條件？ （ 4）學(xué)習(xí)本節(jié)用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ 布置作業(yè) 第 106 頁習(xí)題 第 10 題和第 11題。 （ 2） 能夠用辯證的觀點(diǎn)看問題。 幾何元素及關(guān)系 代數(shù)表示 點(diǎn) A A（ a， b） 直線 L L： Ax+By+C=0 點(diǎn) A在直線上 直線 L1 與 L2的交點(diǎn) A 18 課堂設(shè)問二：如果兩條直線相交，怎樣求交點(diǎn)坐標(biāo)？交點(diǎn)坐標(biāo)與二元一次方程組有什關(guān)系？ 學(xué)生進(jìn)行分組討論，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出兩直線是否相交與其方程所組成的方程組有何關(guān)系？ （ 1） 若二元一次方程組有唯一解， L 1 與 L2 相交。 例 2 判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系。 （ 3）、 結(jié)論，方程表示經(jīng)過這兩條直線 L1 與 L2的交點(diǎn)的直線的集合。難點(diǎn)，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式證明幾何問題。 解：設(shè)所求點(diǎn) P（ x， 0），于是有 ? ? ? ? ? ? ? ? 22 2 21 0 2 2 0 7xx? ? ? ? ? ? ? 由 PA PB? 得 222 5 4 11x x x x? ? ? ? ?解得 x=1。 分析：首先要建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)量，然后用代數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，最后把代數(shù)運(yùn)算“翻譯”成幾何關(guān)系。 22 （四）、課堂小結(jié) ：主要講述了兩點(diǎn)間距離公式的推導(dǎo)，以及應(yīng)用，要懂得用代數(shù)的方法解決幾何問題，建立直角坐標(biāo)系的重要性。要求學(xué)生思考一直線上的計(jì)算？能否用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行推導(dǎo)？ 兩條直線方程如下： ??? ?????? 00222111 CyBxA CyBxA （二）、研探新課 1．點(diǎn)到直線距離公式： 點(diǎn) ),( 00 yxP 到直線 0: ??? CByAxl 的距離為：2200 BA CByAxd ? ???新疆學(xué)案王新敞 （ 1）提出問題 在平面直角坐標(biāo)系中，如果已知某點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ),( 00 yx ，直線＝ 0 或 B＝ 0 時(shí)，以上公式0: ??? CByAxl ，怎樣用點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的方程直接求點(diǎn) P到直線 l 的距離呢 ? 學(xué)生可自由討論。 例題應(yīng)用，解決問題。且該直線過點(diǎn)（ 2， 3），求該直線方程。（其中 a、 b、 r都是常數(shù)， r0）設(shè) M(x,y)為這個(gè)圓上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn) M 滿足的條件是（引導(dǎo)學(xué)生自己列出）P={M||MA|=r},由兩點(diǎn)間的距離公式讓學(xué)生寫出點(diǎn) M適合的條件 22( ) ( )x a y b r? ? ? ? ① 化簡可得： 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ? ② 642 2 4 5 5MA 28 引導(dǎo)學(xué)生自己證明 2 2 2( ) ( )x a y b r? ? ? ?為圓的方程，得出結(jié)論。 根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。 （三）、知識(shí)應(yīng)用與解題研究 例 1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑。 解 ： 設(shè) 點(diǎn) M 的 坐 標(biāo) 是 （ x,y ） , 點(diǎn) A 的 坐 標(biāo) 是? ? ? ?00, . B 4 3 M A Bxy 由 于 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 是 ， 且 是 線 段 的 重 點(diǎn) ， 所 以000043,222 4 , 2 3xyxyx x y y????? ? ? ?于 是 有①