【正文】 │ 要點(diǎn)探究 ( 2) ∵ a ， b ， c ∈ R ＋ ， ∴ an， bn， cn0 ， 而an＋ bncn ＝??????acn＋??????bcn. ∵ a2＋ b2＝ c2，則??????ac2＋??????bc2＝ 1 ， ∴ 0ac 1,0bc 1. ∵ n ∈ N ， n 2 ， ∴??????acn??????ac2，??????bcn??????bc2， ∴an＋ bncn ＝??????acn＋??????bcna2＋ b2c2 ＝ 1 ， ∴ an＋ bn cn. 第 29講 │ 要點(diǎn)探究 設(shè) a ∈ R ，且 a ≠0 ，試比較 a 與 1a 的大?。? [ 解答 ] 由 a －1a＝( a － 1 ) ( a ＋ 1 )a. 當(dāng) a ＝ 177。80000x－ 200 ＝ 200 ， 當(dāng)且僅當(dāng)12x ＝80000x， 即 x ＝ 400 時(shí) ， 才能使每噸的平均處理成本最低 ， 最低成本為 200 元 . 第 30講 │ 要點(diǎn)探究 ( 2 ) 設(shè)該單位每月獲利為 S ， 則 S ＝ 100 x － y ＝ 100 x －??????12x2－ 200 x ＋ 80000 ＝ －12x2＋ 300 x － 80000 ， 若 S 0 ， 則 x2－ 600 x ＋ 1 600000 ， 其判別式 6002－ 4 16000 00 ，該不等式無解 ， 故該單位每月不能獲利 ． 又 S ＝ 100 x － y ＝－12( x － 300 )2－ 3 5000 ， 因?yàn)?400 ≤ x ≤ 6 00 ， 所以當(dāng) x ＝ 400 時(shí) ， S 有最大值 － 40 000. 故需要國家每月至少補(bǔ)貼 40000 元 ， 才能不虧損 ． 第 30講 │ 要點(diǎn)探究 [ 點(diǎn)評(píng) ] 本題充分反映了不等式在解決實(shí)際問題中的作用．解決實(shí)際問題的基本方法之一，是建立其函數(shù)模型，根據(jù)一個(gè)函數(shù)的變化情況對(duì)實(shí)際問題作出解釋和結(jié)論，建立的函數(shù)模型有時(shí)要根據(jù)不等式進(jìn)行研究． 第 30講 │ 要點(diǎn)探究 [2022 四川卷 ] 某加工廠用某原料由甲車間加工出A 產(chǎn)品，由乙車間加工出 B 產(chǎn)品．甲車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí) 10 小時(shí)可加工出 7 千克 A 產(chǎn)品，每千克 A 產(chǎn)品獲利 40 元，乙車間加工一箱原料需耗費(fèi)工時(shí) 6 小時(shí)可加工出 4 千克 B 產(chǎn)品，每千克 B 產(chǎn)品獲利 50 元．甲、乙兩車間每天共能完成至多 70箱原料的加工，每天甲、乙兩車間耗費(fèi)工時(shí)總和不得超過 480小時(shí)，甲、乙兩車間每天總獲利最大的生產(chǎn)計(jì)劃為 ( ) A ．甲車間加工原料 10 箱，乙車間加工原料 60 箱 B ．甲車間加工原料 15 箱，乙車間加工原料 55 箱 C ．甲車間加工原料 18 箱，乙車間加工原料 50 箱 D ．甲車間加工原料 40 箱，乙車間加工原料 30 箱 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 B [ 解析 ] 設(shè)甲車間每天加工原料 x 箱，乙車間每天加工原料 y 箱，每天獲利為z ，則線性約束條件為 ????? 10 x ＋ 6 y ≤ 480 ，x ＋ y ≤ 70 ，x ∈ N ， y ∈ N ， 目標(biāo)函數(shù)為 z ＝ 280 x ＋ 200 y . 畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，如圖， 目標(biāo)函數(shù) z ＝ 280 x ＋ 200 y 變式為 y ＝－7 x5＋z200，令 z ＝ 0 ，將 y ＝－7 x5向上平移，當(dāng)過直線 5 x ＋ 3 y ＝ 240 與 x ＋ y ＝ 70 的交點(diǎn) (15,55 ) 時(shí)， z 最大，故選 B. 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 例 5 [2022安徽卷 ] 若 a 0 ， b 0 ， a ＋ b ＝ 2 ，則下列不等式對(duì)一切滿足條件的 a ， b 恒成立的是 __ ______( 寫出所有正確命題的編號(hào) ) ． ① a b ≤1 ； ② a ＋ b ≤ 2 ； ③ a2＋ b2≥2 ； ② a3＋ b3≥3 ； ⑤1a＋1b≥2. (2) 已知實(shí)數(shù) a ， b ， c 滿足 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ，則 a2＋ b2＋ c2， ab ＋ bc ＋ ca 、13的大小關(guān)系是 ________ ． 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 ( 1) ①③⑤ ( 2) ab ＋ bc ＋ ca ≤13≤ a2＋ b2＋ c2 [ 解析 ] ( 1) 令 a ＝ b ＝ 1 ，排除 ②④ . 由 2 ＝ a ＋ b ≥2 ab ?ab ≤1 ，命題 ① 正確； a2＋ b2＝ ( a ＋ b )2－ 2 ab ＝ 4 － 2 ab ≥2 ，命題③ 正確；1a＋1b＝a ＋ bab＝2ab≥2 ，命題 ⑤ 正確． 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 ( 2) 由于 ( a ＋ b ＋ c )2＝ a2＋ b2＋ c2＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ≤ a2＋ b2＋c2＋ ( a2＋ b2) ＋ ( b2＋ c2) ＋ ( c2＋ a2) ＝ 3( a2＋ b2＋ c2) ，所以 a2＋ b2＋ c2≥13； 由于 a2＋ b2≥2 ab ， b2＋ c2≥2 bc ， c2＋ a2≥2 ca ，三個(gè)不等式相加得 a2＋ b2＋ c2≥ ab ＋ bc ＋ ca ， 所以 ( a ＋ b ＋ c )2＝ a2＋ b2＋ c2＋ 2 ab ＋ 2 bc ＋ 2 ca ≥ 3( ab ＋ bc ＋ca ) ，故 ab ＋ bc ＋ ca ≤13. 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 已知 x ， y ， z 是互不相等的正數(shù)，且 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ，求證：??????1x － 1 ??????1y － 1 ??????1z － 1 8. 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 [ 解答 ] ∵ x 、 y 、 z 是互不相等的正數(shù)， 且 x ＋ y ＋ z ＝ 1 ， ∴1x－ 1 ＝1 － xx＝y(tǒng) ＋ zx2 yzx， ① 1y－ 1 ＝x ＋ zy2 xzy， ② 1z－ 1 ＝x ＋ yz2 xyz. ③ 又 ∵ 0 x 1 ， ∴1x1 ，同理1z1 ，1y 1. 將 ①②③ 三式相乘，得 ??????1x－ 1??????1y－ 1??????1z－ 1 8. ? 探究點(diǎn) 3 利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用題 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 例 3 [2022 xy＝ 4 ＋2 3 ，當(dāng)且僅當(dāng)3 yx＝xy，即 x ＝ 3 y ，也即 x ＝11 ＋ 3， y ＝13 ＋ 3時(shí)等號(hào)成立，故1x＋1y的最小值是 4 ＋ 2 3 . (2) 方法 1. ( 基本不等式法 ) ∵ 2 xy ≤????????x ＋ 2 y22， ∴ x ＋ 2 y ＋ 2 xy ≤ x ＋ 2 y ＋????????x ＋ 2 y22， ∴ x ＋ 2 y ＋( x ＋ 2 y )24≥8( x ， y 0) ，得 x ＋ 2 y ≥4. 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 方法 2. ( 整體代換法 ) 設(shè) t ＝ x ＋ 2 y ， 則 x ＝ t － 2 y ， 代入 x ＋2 y ＋ 2 xy ＝ 8 ， 得 t － 2 y ＋ 2 y ＋ 2 ( t － 2 y ) y ＝ 8 ， 整理為 4 y2－ 2 ty ＋ 8 － t ＝ 0. 由于 y 是實(shí)數(shù) ， 故 Δ ＝ ( － 2 t )2－ 4 4 ( 8 － t ) ≥ 0 ， 解得 t ≤－ 8 ( 舍去 ) ， 或者 t ≥ 4. 故所求的最小值為 4. 方法 3. ( 降元法 ) 由 x ＋ 2 y ＋ 2 xy ＝ 8 ， 得 y ＝8 － x2 x ＋ 2， 故 x ＋ 2 y ＝ x ＋8 － xx ＋ 1＝ x ＋9 － ? x ＋ 1 ?x ＋ 1＝ x ＋9x ＋ 1－ 1 ＝ ( x ＋ 1 )＋9x ＋ 1－ 2 ≥ 6 － 2 ＝ 4 ， 故所求的最小值為 4. 第 32講 │ 要點(diǎn)探究 (1) [2022 福建卷 ] 設(shè)不等式組????? x ≥ 1 ，x － 2 y ＋ 3 ≥ 0 ，y ≥ x所表示的平面區(qū)域是 Ω1， 平面區(qū)域 Ω2與 Ω1關(guān)于直線 3 x － 4 y－ 9 ＝ 0 對(duì)稱 ， 對(duì)于 Ω1中的任意點(diǎn) A 與 Ω2中的任意點(diǎn) B ， | AB |的最小值等于 ( ) A.285 B ． 4 C.125 D ． 2 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 ( 2) 設(shè)實(shí)數(shù) x ， y 滿足????? x － y － 2≤ 0 ，x ＋ 2 y － 5 ≥ 0 ，y － 2≤ 0 ，則 u ＝xyx2＋ y2 的最小值是 ( ) A ． 2 B.12 C.103 D.310 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 [ 思路 ] (1) 從題目可以看出直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 與區(qū)域 Ω1一定沒有公共點(diǎn)，根據(jù)幾何意義可以想到所求的最小值就是區(qū)域 Ω1中離直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的最近的點(diǎn)到直線距離的 2倍； (2) 變換 u ，可以把其中的yx看作基本量 t ，則 u 就是 t 的函數(shù)，只要確定了 t 的范圍就可以根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定所求的最小值，而 y ＝tx就是已知區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率，根據(jù)這個(gè)幾何意義求 t 的取值范圍． 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 (1) B (2) D [ 解析 ] (1) 由題意知，所求的 | AB | 的最小值，即為區(qū)域 Ω1中的點(diǎn)到直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(diǎn) (1,1) 到直線 3 x － 4 y － 9 ＝ 0 的距離最小，故 | AB | 的最小值為 2 |3 1 － 4 1 － 9|5＝ 4 ，所以選 B. 第 31講 │ 要點(diǎn)探究 (2) 如圖，實(shí)數(shù) x ， y 的區(qū)域是 △ ABC ，其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)是 (3,1) ，點(diǎn) C 的坐標(biāo)是 (1,2) ，故 t ＝y(tǒng)x的取值范圍是??????13， 2 ，故 u＝xyx2＋ y2＝1xy＋yx＝1t ＋1t，該關(guān)于 t 的函數(shù) f ( t ) ＝ t ＋1t在??????13， 1 上單調(diào)遞減，在 [1,2] 上單調(diào)遞增，故其最小值為 1 ＋11＝ 2 ，最大值為兩個(gè)端點(diǎn)值中較大的一個(gè)，即 3 ＋13＝103，故 u 的取值范圍是??????310，12，即