【正文】 形象地了解到，自然語言是具體的語言，隨民族、地域而有所不同。 ? 所以說，自然語言是具體的語言，數(shù)學(xué)語言是形式化的語言。 10 2）數(shù)學(xué)語言是宇宙文明的共同語言 ? 地球上不同地域的人類文明發(fā)展到某一階段時，都各自獨立地發(fā)現(xiàn)了“圓周長與直徑的比是一個常數(shù)”，各自獨立地發(fā)現(xiàn)了“直角三角形斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和”。 ? 數(shù)學(xué)語言中必須有“因”有“果”，“因”“果”分明，不能把“因”說成“果”，也不能把此“因”說成彼“因”。 許多數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中強調(diào)，學(xué)生推理時應(yīng)該注意“步驟完整，理由充足” 八個字，是擊中要害的。 ? 如果可以用三句話把意思表達(dá)清楚，就最好不要用四句話。 19 4．“ ε—δ”語言、集合論語言、公理化語言 ? “ε—δ”語言、集合論語言、公理化語言都是在不同歷史時期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)語言，他們在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都發(fā)揮了很大的作用。 ? 數(shù)學(xué)語言的訓(xùn)練，包括口頭表達(dá)和書面表達(dá)兩種形式，希望大家自覺地加強訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言的意識。 24 ? 數(shù)學(xué)確實是解決許多實際問題的工具，但是，數(shù)學(xué)之作為工具，與斧子可以用來砍柴之作為工具是不同的。 ? 但是現(xiàn)在我們知道，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的重大進步。 ? 但是，在當(dāng)今高科技時代，自然科學(xué)和社會科學(xué)各領(lǐng)域的研究進入到了更深的層次和更廣的范圍；在這些研究中數(shù)學(xué)的運用是十分普遍的，并且往往是實質(zhì)性的，數(shù)學(xué)與自然科學(xué)和社會科學(xué)的關(guān)系從來沒有像今天這樣密切。諾依曼（ Johu． von Neumann， 1903—1957）都是數(shù)學(xué)家；而在當(dāng)今計算機的重大應(yīng)用中也無不包含著數(shù)學(xué)。 31 總之，數(shù)學(xué)在當(dāng)代科技、文化、社會、經(jīng)濟和國防等諸多領(lǐng)域中的特殊地位是不可忽視的。有興趣的同學(xué)可以閱讀這本書。此外，他的結(jié)論 還推動了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾? 磁波。此后，不少學(xué)者（ Merton）又對該模型進行了修正、發(fā)展與推廣，極大地推動了期權(quán)定價理論的研究。 41 ? 所以，推動數(shù)學(xué)的發(fā)展的動力，除了有實踐及其它學(xué)科的需要和工程技術(shù)的需要這種來自數(shù)學(xué)外部的動力外，還有來自數(shù)學(xué)內(nèi)部的巨大動力。但就在此后不久，人們開發(fā)了素數(shù)理論在密碼學(xué)中的應(yīng)用。但是他缺乏適當(dāng)?shù)恼Z言去描述和發(fā)展這種思想。” 47 5）伽羅瓦的群論在守恒定律和晶體結(jié)構(gòu)中的應(yīng)用 ? 19世紀(jì)初期，伽羅瓦從理論研究的興趣出發(fā)，在研究“五次方程根式解”問題的過程中創(chuàng)造的群論，深刻揭示了現(xiàn)實世界的對稱性。 50 三、數(shù)學(xué)的發(fā)展 1． 數(shù)學(xué)的分支越來越細(xì) 以至不可能再有一位數(shù)學(xué)家熟習(xí)數(shù)學(xué)的所有分支 2． 數(shù)學(xué)對自然科學(xué)和社會科學(xué)的滲透越來越廣 “一門科學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的程度，標(biāo)志著這門科學(xué)成熟的程度” 3． 歷史遺留許多難題，數(shù)學(xué)永遠(yuǎn)充滿魅力 “費爾馬大定理”上世紀(jì)末剛被證明 “哥德巴赫猜想”等難題仍未解決 51 52 53 54 象棋殘局中的數(shù)學(xué)文化 55 56 本節(jié)結(jié)束 謝謝！ 57 58 數(shù)學(xué)對人類科學(xué)的貢獻（六） ? 美國哈佛大學(xué)日前發(fā)表一份研究報告稱，伊斯蘭世界對數(shù)學(xué)有過重要貢獻。 ? 2）數(shù)學(xué)直接介入社會，數(shù)學(xué)模型的作用越來越大。人們可以在不懂微積分的情況下，對數(shù)學(xué)作出重大貢獻。 （中世紀(jì)的工匠用直尺和圓規(guī)來完成復(fù)雜的多邊形圖案，是“準(zhǔn)晶體”設(shè)計 ） 59 2．?dāng)?shù)學(xué)的應(yīng)用常常是難以預(yù)料的 1） 素數(shù) 在密碼學(xué)中的應(yīng)用 2） 圓錐曲線論 在行星運動開普勒三定律中的應(yīng)用 3） 黎曼幾何 在廣義相對論中的應(yīng)用 4）陳省身的 纖維叢理論 在楊振寧的規(guī)范場理論中 的應(yīng)用 5） 正電子、黑洞 與 電磁場 的發(fā)現(xiàn) 諾貝爾物理學(xué)獎獲得者溫伯格 (S?Weinberg)曾無 可奈何地感嘆：“當(dāng)一個物理學(xué)家得到一個思想時， 卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)得到了。 ? 現(xiàn)在，群論影響著幾乎所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，它已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)家必備的知識。愛因斯坦花了 四年 的時間，認(rèn)真地學(xué)習(xí)黎曼幾何，后來果然用黎曼幾何的語言創(chuàng)立和表述了廣義相對論。 43 2）阿波羅尼奧斯的圓錐曲線論在開普勒三定律中 的應(yīng)用 ? “數(shù)學(xué)發(fā)展簡史”一節(jié)中提到，在公元前二百多年，希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯就已經(jīng)有關(guān)于圓錐曲線的大量研究。 ? 這樣產(chǎn)生的數(shù)學(xué)理論，往往離現(xiàn)實需要和實際應(yīng)用相當(dāng)遙遠(yuǎn)；有的幾十年，有的幾百年，有的幾千年才發(fā)現(xiàn)它們的應(yīng)用。他們也因此獲得了 1997年的 Nobel經(jīng)濟學(xué)獎。該研究成果