【正文】 項的符號，我們也 可以把每一項按 照列指標(biāo)排起來，所以 定義又可以 表述為 niiiiiiiiinnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD ?????????21)(212222111211212121)1(? ??? ?. （ 113） 行列式的相關(guān)性質(zhì) 記 nnnnnnaaaaaaaaaD??????212222111211? ,nnnnnnaaaaaaaaaD??????21222121211139。 本文 首 先闡述行列式的基本理論， 在此研究的基礎(chǔ)上介紹 了 降階法，歸納法，化三角形法 等幾種常見的 且有一定技巧的 解行列式的方法 ,并列舉了相關(guān)的例子，更直觀地了解解行列式方法的精髓 。 . 證明：記 D 中 的一般項 n 個元素的乘積 是 ,21 21 nnjjj aaa ? 它處 于 D 的不同行和不同列，所以 它 也處 于 39。 一個典型的例子是范德蒙德行列式 . 113121122322213211111?????nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD???????? 分析：如果第一行全是 1把第一行變出一排 0其他位置將會變得不好掌握，所以通過把第一列變出一排 0來降階；并且，為了使 降階后的行列式仍然具有原來的形式，不能用第一行的若干倍加到其他各行的辦法，而用逐行變零的方法 . 解： 同上題， 第 n 行減第 1?n 行的 1a 倍，第 1?n 行減第 2?n 行的 1a 倍，即由下而上逐次地從每一行減它上一行的 1a 倍， 有 原式21123113221121231232122113120001111?????? ??????????nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa???????? 2112311322112123123212211312?????? ??????????nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????? 9 22322223223211312111)())((???????nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa???????? 111312 )())(( ????? nn Daaaaaa ?. 其中行列式 1?nD 仍然是同樣形式的但階數(shù)少 1的范德蒙德行列式，所以可以按同樣的辦法反復(fù)降階 .從上面的計算知道， 這樣的辦法做一次，出現(xiàn)的因式是第一列后面的每列的字母 ja 減去第一列的字母的差之積 .因此得 111312 )())(( ????? nnn DaaaaaaD ? 22242311312 )())(()())(( ????????? nnn Daaaaaaaaaaaa ?? )()())(()())(( 12242311312 ???????????? nnnn aaaaaaaaaaaaaa ???. 所以階范德蒙德行列式為 ???? ?? nij jin aaD 1 ）（. 拆項法 把給定的行列式的某一行或者某一列的元素表述為 兩數(shù) 之 和的形式，再 根據(jù)行列式的性質(zhì)把 原行列式表示為兩行列式的 和 的方法叫做拆項法 .把一個繁瑣的行列式化簡為兩個 簡單的 行列式 ， 把問題簡單化以便于 計算 . 例 4 計算行列式 nnnnnaaaaaaaaaD?????????????21221211. 解 ：nnnnnaaaaaaaaaD???????????2122121+nnnnaaaaaa???????????2222100 nnaaa????????0000 221化簡 +11 ?nD? 1121 ??? nn Da ??? ? 10 ?? )1(121 ????ni iin a???? ? . 用范德蒙德行列式 計算 例 5 計算nnnnnnnD???????222333222111? . 解： nD 中的各行元素都各自 是一個數(shù) 不同 的 方冪，方冪 的 次數(shù) 從左到右依次遞升，次數(shù) 由 1 遞升至 n .提取出每一行的公因數(shù)，那么 方冪 的次數(shù)就 由 0 增至 1?n ， 得 到 112121331221111!????nnnnnnnD??????? 上等式右端 的 行列式 是 n 階范德蒙德行列式，由（ 251）公式得 )]1([)2()24)(23()1()13)(12(! ?????????? nnnnnD n ??? !1!2)!2()!1(! ???? nnn . 化三角形法 把 原 有的 行列式 簡 化為上（下）三角形或 者 對角形 或者 階梯形 行列式 計算 的方法 叫做化三角形法 。3 1 2 11] b=[4 6 7 17]39。6 3 9] A = 1 3 5 2 4 2 6 3 9 det(A) ans = 78 附錄 2 A=[1 1 1 1。同時在此感謝四年來教授我知識的所有老師和陪伴我一起成長的同學(xué)特別是和我朝夕相處的室友們，因為有你們，我的大學(xué)才如此精彩。 b = 4 6 7 17 23 x=inv(A)*b x = 附錄 3 syms a b c d A=[a b。 ? 構(gòu)建 行列式型 的 輔助函數(shù)來證明 證明：設(shè) 1)(1)(1)()(xfxbfbafax ?? 因 )(xf 在 ],[ ba 上 是 連續(xù) 的 ，在 ),( ba 內(nèi) 是 可導(dǎo) 的 ， 故 )(x? 在 ],[ ba 上 是 連續(xù)的 ，在 ),( ba 內(nèi) 是 可導(dǎo) 的 ，且 0)()( ???? ba ， 故 由羅爾定理得 ，至少存在 有 一點 ),( ba?? ，使得 0)(11)(1)()(39。2 4 2。D 的每一項也是 D 的一項，即 D 和 39。 通過這一系列的方法 可以 進(jìn)一步提升 對行列式的認(rèn)識， 為以后學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。另外，本文又介紹了 行列式 在 解析幾何、代數(shù) 及其他課程 當(dāng) 中 的應(yīng)用， 進(jìn)一步加深了對行列式的理解。D 的不同行和不同列，在 39。 例 6 mxxxxmxxxxmxnnn?????????212121. 解：將第 …、 n列的元素都加到第一列上， 提 出 公因式，得 原式 = mxxmxxmxmxxxmxnniinniinnii?????????????????212121）（）（）（ 11 mxxxmxxxmxnnnnii???????????2221111）（提取公因式 階）（nnniiimmxxmxnirr?????? ?????????00001),3,2(211 ? 11 ))((?? ???nni i mmx. 加邊法 加邊法是 把原 來的 行列式加上一行 ， 一列 然后 再 利用 性質(zhì) 簡化 進(jìn)行計算 的方法。 x=inv(A)*b 運行后得到結(jié)果為???????????11114321xxxx（ 見附錄 2） Matlab 可以進(jìn)行符號運算，首先應(yīng)對數(shù)學(xué)式將用到的符號用語句 syms 定義 . 14 例 10 求行列式dc ba的值 . 用 Matlab 編程 sym