【正文】 k 行元素所構成 的 所有 k 級子式和 它們的代數余子式的乘積的和 . 例 7 計算 n2 階行列式1111dcdcbabaDnnnnn?????. 13 解： 由 拉普拉斯展開定理 ， 按 照 第 1行和第 n2 列展開得 11111 )( ??? nn DcbdaD . )1(2 ?n 階 的 行列式 1?nD 也按同樣方法展開， 得 222221111 ))(( ???? nn DcbdacbdaD . 依次類推，得 ?? ??ni iiiin cbdaD 1 )(. 行列式計算的 Matlab 實驗 除了上述幾 種常規(guī)方法，還可以借助一些數學軟件進行計算，它不僅簡便易操作，而且計算效率高。1 2 1 4。c d] det(A) 運行后得 到結果為 a*d b*c.（見附錄 3） 15 3. 行列式的 應用 行列式 應用 在解析幾何中 根據齊次線性方程組有非零解的充要條件這一重要結論 ， 在 中學解析 幾何中直線方程、圓錐曲線方程 中可以給出 行列式 的 形式 . 例 11 求 解 過點 ???????? 324,1 和 ????????? 23,473 ， 而 且焦點在 x 軸上的橢圓方程 . 解：設 所求的 橢圓方程為 12222 ??byax ，如果 點 ? ?11,yx 和 ? ?22,yx 在橢圓上，則 ????????????????????????0111011101112222222212212222byaxbyaxbyax 把它 看成 是 關于 ,1,122 ba和 1? 的齊次線性方程組，由于 它有非零解， 故 橢圓方程可寫為 01112222212122?yxyxyx ， 代值 得 0149166319321122?yx， 即 0491663 93211166311149193222 ??? yx . 解得 149 22 ?? yx . 用行列式表示 的 三角形面積 16 例 12 在一個平面內以三點 ),(),(),( 332211 yxRyxQyxP 為頂點的 PQR? 的面積 S，是11121332211yxyxyx 的絕對值 . 證明：把平面 中 ),(),(),( 332211 yxRyxQyxP 為 三點擴充到三維空間 里 , 設它的坐標分別為 1 1 2 2 3 3( , , ) , ( , , ) , ( , , )x y k x y k x y k, k 是任意的常數 . 則： 2 1 2 1( , , 0)P Q x x y y? ? ?, 3 1 3 1( , , 0 )P R x x y y? ? ? 則 2 1 2 13 1 3 1( 0 , 0 , )x x y yP Q P R x x y y???? PQR? 面積為 1 s in ,2S P Q P R P Q P R? ? ? =12 PQ PR? 22 1 2 13 1 3 112 x x y yx x y y??? 112 1 2 13 1 3 111020xyx x y yx x y y? ? ??? 11223311121xyxyxy? 應用行列式分解因式 利用行列式 分解因式 主要在于 構造， 再根據 行列式的性質 來計算，以便于 提取公因式 . 例 13 解因式 223 ??? xxx . 解： )2()1(2 223 ??????? xxxxxx 11 22??? xxx (把 第一列加到第二列 ) 21 222? ??? x xxx 17 21 )1)(2(2? ??? x xxx（提取公因式） 11 )1()2(2 ??? xxx )1)(2( 2 ???? xxx . 利 用行列 式解 代數不等式 例 14 求證不等式 abccba ??? 3 333 ， 其中 ??Rcba , . 證明： 要證明 abccba ??? 3 333 ， 只需證明 03333 ???? abccba 。 ? . 行列式在 實際 中的 應用 行列式在許多工程上的問題上，特別是在電子工程和控制論，能用拉普拉斯變換進行分析，在 經濟管理和 工業(yè)生產中也有著 很普遍 的應用，可以 根據 行列式的性質來 解決 一 部分工程中的現實 的 問題 . 例 15 現 有三 塊草地 人工飼養(yǎng)羊 ，草地的 草 是一樣密集，生長速度也一樣 .這三塊草地 的面積分別 為 313 畝 、 10畝 和 24 畝 ，第 一塊草地 飼養(yǎng) 12 只羊 可維持4 周 ； 第二塊草地飼養(yǎng) 21 只羊可 支撐 9 周，問在第三塊草地上應 豢養(yǎng)幾 只羊 恰巧能支撐 18周 ？ 解 ： 設每畝草地 有草 x kg， 每周每畝 生長新草 y kg，第三片牧場可飼養(yǎng) z 只羊 ，每 只羊每周 吃草 a kg， 由題意，得 ???????????????????,18182424,92191010,4124313313zayxayxayx 即 ??????????????.03724,01 8 99010,01 4 44010zayxayxayx 可以得到，這是 以 ayx , 為未知數的齊次線性方程組，由于它有非零解，故它的 系數行列式 19 037241 8 990101 4 44010??zD， 展開 后 得 36?z ，即可以在 第三 塊草地飼養(yǎng) 36只羊維持 18周 . 20 總結 行列 式從線性方程組的問題引出來，成為線性代數中 一個 最 基本 的工具 .在高深的 高等數學領域里 和 現實生活里的實際問題 當中 ，都有著直接或 者 間接的聯(lián)系 . 行列式 一般 有很 多種 計算方法，綜合性 要求也很高 ， 比較靈活，這就要求 我們 平時在學習當中 多練習 多 總結 .一般常用來計算 行列式的方法主要有降階法，歸納法，化三角形法，范德蒙德行列式等 .本文先從行列式的定義以及 性質出發(fā)，介紹了求 解 行列式比較基本的方法 .隨后 又介紹了幾種比較常見的有技巧的方法， 如加邊法、降階法、化三角形法等， 加深了對行列式的研究 .最后還列舉了用數學軟件 Matlab 求解行 列 式 的方法，給求行列式帶來了極大的方便 . 行列式在數學 科學 領域中有著普遍 的應用，本文介紹了行列式在解析幾何 、代數及 其他課程中 的應用 .通過這一系列 應用 進一步提高 對行列式的認識， 為 以后的學習 發(fā)揮著重大作用 .最后又列舉 了行列式在現實中的應用，化抽象為具體，更加深入理解行列式的作用 . 21 參考文獻 [1] 北京大學數學系幾何與代數教研小組編 .高等數學（第三版） [M],2022. 1120 [2] 毛綱源 .線性代數解題方法技巧歸納 [M].武漢：華中科技大學 , [3] 賈蘭香、張建華 .線性代數 .南開大學出版社 [M] [4] 錢吉林 . 高等代數題解精粹 [M]. 北京 : 中央民族大學出版社 ,2022. 5879 [5] 呂林根、許子道 .解析幾何 .高等教育出版社（第四版） [M], [6] 楊立群 . 行列式在初等代數中的應用 [J]. 東北師范大學學報 , [7] 華東師范大學數學系 .數學分析（第二版） [M].北京：高等教育出版社， [8] 賈計榮 . 行列式在初等代數中的應用 [J].太原大學教育學院學報 2022年增刊（總第 83期） [9] 李小剛 .線性代數及其應用 [M].科學出版社， 2022. 5157 [10] 劉劍平、施勁松 .線性代數及其應用 [M].華東理工大學出版社， 22 附錄 1 A=[1 3 5。2 3 1 5。 感謝他及時的糾正與指導，感謝他在百忙之中對我的關鍵性建議，感謝老師提供的相