【正文】 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 3 ．復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件 (1) z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ∈ R ? b ＝ 0 ； (2) z ∈ R ? z ＝ z ； (3) z ∈ R ? z2≥ 0. 4 ．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件 (1) z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 是純虛數(shù) ? a ＝ 0 ，且 b ≠ 0 ； (2) z 是純虛數(shù) ? z ＋ z ＝ 0( z ≠ 0) ； (3) z 是純虛數(shù) ? z2＜ 0. 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 二、復(fù)數(shù)的運(yùn)算 1 ．復(fù)數(shù)加、減、乘、除運(yùn)算的實(shí)質(zhì)是實(shí)數(shù)的加、減、乘、除，加、減法是對(duì)應(yīng)實(shí)、虛部相加、減，而乘法類比多項(xiàng)式乘法， 除法類比分式的分子分母有理化，注意 i2＝－ 1. 2 ．在進(jìn)行復(fù)數(shù)的運(yùn)算時(shí)，不能把實(shí)數(shù)集的某些法則和性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來，如下面的結(jié)論，當(dāng) z ∈ C 時(shí)不總是成立的； (1) ( zm)n＝ zmn( m ， n 為分?jǐn)?shù) ) ； (2) zm＝ zn? m ＝ n ( z ≠ 1) ； (3) z21＋ z22＝ 0 ? z1＝ z2＝ 0 ； (4)| z |2＝ z2. 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 復(fù)數(shù)的概念 【點(diǎn)撥】 設(shè) z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，則 (1) z 是虛數(shù) ? b ≠ 0 ， (2) z 是純虛數(shù) ?????? a ＝ 0b ≠ 0， (3) z 是實(shí)數(shù) ? b ＝ 0. 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 復(fù)數(shù) z＝ log3(x2－ 3x－ 3)＋ ilog2(x－ 3)， 當(dāng) x為何實(shí)數(shù)時(shí) ， (1)z∈ R； (2)z為虛數(shù)； (3)z為純虛數(shù) ． [思維點(diǎn)擊 ] 本題主要考查復(fù)數(shù)的分類 ， 由復(fù)數(shù)的概念易得解法 ． 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 [ 規(guī)范解答 ] (1) ∵ 一個(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件是虛部為 0 ， ∴????? x2－ 3 x － 3 ＞ 0 ， ①log 2 ? x － 3 ? ＝ 0. ②x － 3 ＞ 0 ③ 由 ② 得 x ＝ 4 ，經(jīng)驗(yàn)證滿足 ①③ 式． ∴ 當(dāng) x ＝ 4 時(shí)， z ∈ R . 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 (2) ∵ 一個(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不等于 0 ， ∴????? x2－ 3 x － 3 ＞ 0 ，log2? x － 3 ? ≠ 0 ，x － 3 ＞ 0. 解得????? x ＞3 ＋ 212或 x 3 － 212，x ＞ 3 且 x ≠ 4 ， 即3 ＋ 212＜ x ＜ 4 或 x ＞ 4 ， ∴ 當(dāng)3 ＋ 212 x 4 或 x 4 時(shí)， z 為虛數(shù)． 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 (3) ∵ 一個(gè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的充要條件是其實(shí)部為 0 且虛部不為 0 ， ∴????? log3? x2－ 3 x － 3 ? ＝ 0 ，log2? x － 3 ? ≠ 0 ，x － 3 ＞ 0 解得????? x ＝－ 1 或 x ＝ 4 ，x ＞ 3 且 x ≠ 4.無解． ∴ 復(fù)數(shù) z 不可能是純虛數(shù)． 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 1． 已知復(fù)數(shù) z與 (z＋ 2)2＋ 8i均為純虛數(shù) ， 求復(fù)數(shù) z. 解析： 設(shè) z＝ bi(b∈ R， b≠0)， 則 (z＋ 2)2＋ 8i＝ (2＋ bi)2＋ 8i ＝ (4－ b2)＋ (4b＋ 8)i， ∵ (z＋ 2)2＋ 8i為純虛數(shù) ， ∴ 4－ b2＝ 0， 且 4b＋ 8≠0. ∴ b＝ 2.∴ z＝ 2i. 數(shù) 學(xué) 選修 22 第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 知能整合提升 熱點(diǎn)考點(diǎn)例析 章末質(zhì)量評(píng)估 【 點(diǎn)撥 】 對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù) z1＝ a＋ bi， z2＝ c＋ di(a， b， c，d∈ R)， 我們規(guī)定： a＋ bi＝ c＋ di(a， b， c， d∈ R)?a＝ c， b＝d. (1)根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義知 ， 在 a＝ c， b＝ d兩式中 ， 如果有一個(gè)不成立 ， 那么 a＋ bi≠c＋ di. (2)復(fù)數(shù)相等的充要條件是把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題的重要依據(jù) ， 是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化這一重要數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn) ． 把復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化處理 ， 主要根據(jù)復(fù)數(shù)相等建立方程或方程組 ， 通過解方程或方程組 ，