數(shù)值微分計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)(完整版)
【正文】 a t t a t t t t a t t t t ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 則 ??NPt的 導(dǎo)數(shù)可以表示為 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 11 2 0 1 0039。,2 tr u n cf x h f x hf x E f hh? ? ??? 其中 ? ? ? ? ? ? ? ?32 2, 6tr u n c h f cE f h O h? ? ? 項(xiàng) ? ?,truncE f h 稱為截?cái)嗾`差。此外，還可以采用 待定系數(shù)法 建立各階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值微分公式，并且用外推技術(shù)來(lái)提高所求近似值的 精確度 。當(dāng)函數(shù)可微性不太好時(shí)，利用 樣條 插值進(jìn)行數(shù)值微分要比多項(xiàng)式插值更適宜。 2. 精度為 4()Oh 的中心差分公式： 設(shè) ? ?5 ,f C a b? ， 且 ? ?2 , , , , 2 ,x h x h x x h x h a b? ? ? ? ?， 則 ? ? ? ? ? ?39。 N NN N j ijkkP t a a t t t t a t t? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? 由此 可知在 , 0,1, ,Mx M N? 處 的導(dǎo)數(shù)值 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 0 01 2 0 1 0 1 1 1039。 xxa f x x x x x xxb f x xxc f x x xd f x x x x xe f x x x? ? ? ? ? ?????? ???????????????? ? ? ? ??? P260 2 修改程序 ，實(shí)現(xiàn)精度為 O（ h4）的中心差分公式（ 10）。 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?45 33 5 223260 32 233 47 77 。 Step3： for i=2 upto max 1） 計(jì)算 步長(zhǎng) 1/10iihh?? 時(shí) 的 近 似 導(dǎo) 數(shù) 值 ，? ? ? ?2iiiif x h f x hD h? ? ?? ； 2） 近似 導(dǎo)數(shù) 值序列 間隔 1i i iE D D??? ， 相對(duì)誤差序列? ?12/i i i iR E D D ???。 《數(shù)值方法》實(shí)驗(yàn)報(bào)告 7 3 利用 理查森外推 法設(shè)計(jì)計(jì)算 滿足精度要求的近似導(dǎo)數(shù)值 的 算法 ， Step1： 輸入函數(shù) ??fx， 自變量 x ， 相對(duì)誤差容限 toler， 誤差容限 delta， 初始 步長(zhǎng) 0h ， 計(jì)算行數(shù)上限 max ； Step2：計(jì)算 初始化 量 1） 初始 近似導(dǎo)數(shù)值? ? ? ? ? ?000 , 0 02f x h f x hD h? ? ??； 2） 初始 誤差 0 0E? ， 初始 相對(duì) 誤差 0 1R? ； 3） 1j? ； Step3：計(jì)算出 符合精度要求的近似導(dǎo)數(shù)值： 若 1jE delta? ? 且 1jR toler? ? 且 1 maxj?? ，則進(jìn)行 下 列 計(jì)算 ， 否則進(jìn)入 step4 1） 1 /2jjhh?? , ? ? ? ? ? ?? ?,0 2j j jjD f x h f x h h? ? ? ?。 D(i)=(feval(f,x+h)feval(f,xh))/(2*h)。 R(i)=2*E(i)/(abs(D(i))+abs(D(i1)))。 %計(jì)算導(dǎo)數(shù)近似值間隔序列的前兩個(gè)值 R(1)=1。 end end n=i。 j=1。 j=j+1。 end for i=M+1:N+1 t(i)=X(i)。 end p=1。%輸出 得到滿足得到 精度 要求的近似導(dǎo)數(shù)值 err relerr End 1 function df=difnew(X,Y) N=length(X)1。(relerrtoler)amp。 %輸出滿足精度要求的數(shù)值導(dǎo)數(shù)近似值 err=E(n)。 %輸出滿足精度要求的數(shù)值導(dǎo)數(shù)近似值 for i=3:max %計(jì)算導(dǎo)數(shù)近似值序列 h=h/10。 end end n=i。E(2)
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