【正文】 0?? 與 1?? 的 方 差 ? ?? ????? )v a r ()v a r ()v a r ()?v a r ( 21021 iiiiiii kXkYk ??????? ? ??????????22222iiixxx ??? ?? ?????? 221020 )/1()v a r ()v a r ()?v a r ( ????? iiiiii kXnXwYw22222222 21121 ?? ????????????????????????????? ????????? ? ???iiiii xxXkXnnkXkXnn22222222221??? ????? ??????????? ??iiiii xnXxnXnxxXn（ 2）證明最小方差性 假設(shè) *1?? 是其他估計(jì)方法得到的關(guān)于 ? 1 的線性無(wú)偏估計(jì)量： ?? iiYc*1??其中 ， ci=ki+di， di為不全為零的常數(shù) 則容易證明 )?v a r ()?v a r ( 1*1 ?? ?同理， 可 證 明 ? 0 的 最 小 二 乘 估 計(jì) 量 0?? 具 有 最 的 小 方 差 普通最小二乘估計(jì)量 （ ordinary least Squares Estimators）稱(chēng)為 最佳線性無(wú)偏估計(jì)量 （ best linear unbiased estimator, BLUE） 由于最小二乘估計(jì)量擁有一個(gè) “ 好 ” 的估計(jì)量所應(yīng)具備的小樣本特性，它自然也擁有大樣本特性 。 ? 那么，在一次抽樣中，參數(shù)的估計(jì)值與真值的差異有多大，是否顯著，這就需要進(jìn)一步進(jìn)行 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 。 在實(shí)際計(jì)算可決系數(shù)時(shí)，在 1?? 已經(jīng)估計(jì)出后 ： ????????? ?? 22212 ?iiyxR ? 在例 收入 消費(fèi)支出 例中， 5 9 0 0 2 07 4 2 5 0 0 0)(?222212 ??????iiyxR ? 注：可決系數(shù) 是一個(gè)非負(fù)的統(tǒng)計(jì)量。 計(jì)量經(jīng)計(jì)學(xué)中 ，主要是針對(duì)變量的參數(shù)真值是否為零來(lái)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的。 三、參數(shù)的置信區(qū)間 ?????? ?????? 1)??(P 如 果 存 在 這 樣 一 個(gè) 區(qū) 間 ， 稱(chēng)之為 置信區(qū)間（ confidence interval） ； 1?稱(chēng)為 置信系數(shù) （ 置信度 ）（ confidence coefficient） ， ?稱(chēng)為 顯著性水平 （ level of significance ） ； 置信區(qū)間的端點(diǎn)稱(chēng)為 置 信 限（ confidence limit） 或 臨界值 （ critical values） 。 對(duì) 總體回歸模型 Y=?0+?1X+?，當(dāng) X=X0時(shí) ??? ??? 0100 XY于是 0100100100 )()()( XEXXEYE ???????? ????????0101000100 )?()?()??()?( XEXEXEYE ?????? ?????? 二、總體條件均值與個(gè)值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 總體均值預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間 由于 0100 ??? XY ?? ??),(~? 2211 ?ixN ??? ),(~? 22200 ??? ??iixnXN于是 0101000 )?()?()?( XEXEYE ???? ????)?()?,?(2)?()?( 12021000 ???? V arXC ovXV arYV ar ???可以證明 ???2210 /)?,?( ixXC o v ???因此 ???? ??? 222022022202)?(iiiixXxXXxnXYV a r ??????????? ????? ?? 202122222 XXXXn XnXx ii?))(( 20222XXn xx ii??? ??? ))(1( 2202 ????ixXXn?故 )))(1(,(~? 2 2020210 ? ???ixXXnXNY ???)2(~)(?0?0100 ???? ntSXYtY?? ))(1(? 2 202?0 ????iY xXXnS ?其中 于是，在 1?的置信度下， 總體均值 E(Y|X0)的置信區(qū)間為 0202 ?00?0?)|(? YY StYXYEStY ?????? ??總體個(gè)值預(yù)測(cè)值的預(yù)測(cè)區(qū)間 由 Y0=?0+?1X0+? 知 : ),(~ 20210 ??? XNY ?于是 )))(11(,0(~?220200 ?????ixXXnNYY ?)2(~?00?00 ????ntS YYtYY式中 : ))(11(? 2202?00 ??????iYY xXXnS ?從而在 1?的置信度下， Y0的置信區(qū)間 為 00202 ?000?0?? YYYY StYYStY ?? ?????? ??在上述 收入 消費(fèi)支出 例中，得到的樣本回歸函數(shù)為 ii XY 7 7 7 0 3? ??? 則在 X0=1000處， ?0 = –+ 1000= )21501000(10 113402)?( 20 ??????? ???YVa r而 )?( 0 ?YS 因此， 總體均值 E(Y|X=1000)的 95%的置信區(qū)間為： ? E(Y|X=1000) +? 或 （ , ） 同樣地，對(duì)于 Y在 X=1000的 個(gè)體值 ，其 95%的置信區(qū)間為： ?Yx=1000 + ? 或 (, ) ? 總體回歸函數(shù)的 置信帶（域） （ confidence band） ? 個(gè)體的 置信帶（域） 對(duì)于 Y的總體均值 E(Y|X)與個(gè)體值的預(yù)測(cè)區(qū)間 （ 置信區(qū)間 ） : （ 1） 樣本容量 n越大 ， 預(yù)測(cè)精度越高 ， 反之預(yù)測(cè)精度越低； （ 2） 樣本容量一定時(shí) ， 置信帶的寬度當(dāng)在 X均值處最小 ， 其附近進(jìn)行預(yù)測(cè) （ 插值預(yù)測(cè) ）精度越大； X越遠(yuǎn)離其均值 ， 置信帶越寬 ，預(yù)測(cè)可信度下降 。 能把表 抽出的一個(gè)樣本嗎？ 可決系數(shù) R2，考察被解釋變量 Y的變化中可由解釋變量 X的變化 “ 解釋 ” 的部分。 在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中，對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)作回歸，即使兩個(gè)變量間沒(méi)有任何的實(shí)際聯(lián)系，也往往會(huì)得到較高的可決系數(shù)，尤其對(duì)于 具有相同變化趨勢(shì)（同時(shí)上升或下降）的變量 ，更是如此。 案例：時(shí)間序列問(wèn)題 一、中國(guó)居民人均消費(fèi)模型 二、時(shí)間序列問(wèn)題 一、中國(guó)居民人均消費(fèi)模型 例 考察中國(guó)居民收入與消費(fèi)支出的關(guān)系 。表示為： P t t t( )? ? ? ? ?? ? ?2 21即 P t s ti ii(?)?? ? ? ? ? ?? ?? ? ??2 21P t s t si i ii i( ? ? )? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?2 21于是得到 :(1?)的置信度下 , ?i的置信區(qū)間是 ( ? , ? )? ?? ?? ?? ?i it s t si i? ? ? ?2 2 在上述 收入 消費(fèi)支出 例中，如果給定 ? =，查表得： 3 5 )8()2( 0 0 2??? tnt ?由于 0 ??S ??S于是， ? ?0的置信區(qū)間分別為： （ ,) （ ,） 由于置信區(qū)間一定程度地給出了樣本參數(shù)估計(jì)值與總體參數(shù)真值的 “ 接近 ” 程度，因此置信區(qū)間越小越好。 ? 假設(shè)檢驗(yàn)采用的邏輯推理方法是反證法。為此，對(duì)可決系數(shù)的統(tǒng)計(jì)可靠性也應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn)，這將在第 3章中進(jìn)行。 一、擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 擬合優(yōu)度檢驗(yàn) ： 對(duì)樣本回歸直線與樣本觀測(cè)值之間擬合程度的檢驗(yàn)。 ?2又稱(chēng)為 總體方差 。 一個(gè)用于考察總體的估計(jì)量，可從如下幾個(gè)方面考察其優(yōu)劣性： （ 1）線性性 ，即它是否是另一隨機(jī)變量的線性函數(shù)； （ 2）無(wú)偏性 ，即它的均值或期望值是否等于總體的真實(shí)值； （ 3）有效性 ，即它是否在所有線性無(wú)偏估計(jì)量中具有最小方差。 三、參數(shù)估計(jì)的最大或然法 (ML) 最大或然法 (Maximum Likelihood,簡(jiǎn)稱(chēng) ML)，也稱(chēng) 最大似然法 ，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計(jì)方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來(lái)的其它估計(jì)方法的基礎(chǔ)。 另外 ，在進(jìn)行模型回歸時(shí)，還有兩個(gè)暗含的