[工學(xué)]第6講邏輯代數(shù)(完整版)
【正文】 在兩個(gè)乘積項(xiàng)中 ， 除了其中一個(gè)變量分別是原變量和反變量之外 ， 其它變量都相同時(shí) ， 就稱(chēng)這兩個(gè)乘積項(xiàng)在邏輯上具有相鄰性 ， 或稱(chēng)為相鄰項(xiàng) 。對(duì)于三變量 A、 B、 C講，有 8個(gè)最小項(xiàng)， AB AB AB AB 、 、 、 A A A B A B B、AB C AB C A BC A B C AB C AB C A BC A B C、 、 、 、 、 、 、 、 而 就不是最小項(xiàng) 。 它可以寫(xiě)成下列形式 ， 例如 2 3 6 7(( 2 2 6 6 7F f A B C A B C A B C A B C A B Cm m m m m? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?、 、 ）、） 任何一個(gè)邏輯函數(shù)都能展開(kāi)成最小項(xiàng)表達(dá)式 ， 其變換方法有兩種： (1) 邏輯函數(shù) → 真值表 → 最小項(xiàng)表達(dá)式 。 m00m11m22m33BA0 101圖 卡諾圖的繪制方法很多 ， 這里僅介紹其中的一種 。 最小項(xiàng)個(gè)數(shù)為 23=8個(gè) ， 我們用 8個(gè)小方塊分別表示 mi， 如圖 。每個(gè)原變量及其反變量總是各占整個(gè)卡諾圖區(qū)域的一半。 例如 ， 畫(huà)出 的卡諾圖 。 例如 ,上題中的乘積項(xiàng) 展開(kāi)成最小項(xiàng)時(shí)包含了m3和 m2兩項(xiàng) 。 必須指出的是：卡諾圖包圍圈只能圈 2n個(gè)方格 。 C F BC?B DF B D? 2. 利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù) 下面通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明化簡(jiǎn)步驟 。 圖 不用化簡(jiǎn)結(jié)果比較 (A)最簡(jiǎn)結(jié)果； (b)非最簡(jiǎn)結(jié)果 此大圈 多余了 1 1 1 1 1 1 1 1 ( a ) 1 1 1 1 1 1 1 1 ( b ) (3)圈的圈數(shù)要盡可能的少 (即乘積項(xiàng)的總數(shù)要少 )。 第二步 ， 利用 “ 兩次求反 ” 法及摩根定律 ， 再將最簡(jiǎn)與或式轉(zhuǎn)換成與非 —與非式 。 “ 約束條件 ” 所含的最小項(xiàng)稱(chēng)為 “ 約束項(xiàng) ” ，或稱(chēng)為 “ 任意項(xiàng) ” 、 “ 禁止項(xiàng) ” 、 “ 無(wú)關(guān)項(xiàng) ” 都可以，用 “ di”表示。 表 真值表 因?yàn)閷?duì)十進(jìn)制數(shù)來(lái)說(shuō) ， 只有 0、 2…9這 10個(gè)數(shù)碼 ，對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制編碼是 0000~1001， 所以對(duì)于 ABCD的這6組取值是不允許出現(xiàn)的 。 本題含有約束項(xiàng)的邏輯函數(shù)表達(dá)式為 F=∑m( 9)+∑d( 1 1 1 1 15) 或?qū)懗? F=∑m( 9) ∑d( 1 1 1 1 15)=0 或 F=∑m( 9) 約束條件為 AB+AC=0 (2) 用卡諾圖化簡(jiǎn) 因?yàn)榧s束項(xiàng)根本不會(huì)出現(xiàn) ， 或不允許出現(xiàn) ， 所以在化簡(jiǎn)時(shí)可以充分利用約束項(xiàng)取值的任意性 ， 有時(shí)將約束項(xiàng)認(rèn)為是 1， 有時(shí)又可將其認(rèn)為是 0， 完全視需要而定 ， 取 1或取 0都不會(huì)影響其函數(shù)值 。 2. 具有 “ 約束 ” 的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 對(duì)于具有 “ 約束 ” 的邏輯函數(shù) ， 可以充分利用“ 約束條件 ” 使表達(dá)式大大簡(jiǎn)化 。 例 化簡(jiǎn) F=∑( 0, 1 1 1 15)為最簡(jiǎn)或與式 。 (4)圈要盡可能的大 (使每個(gè)乘積項(xiàng)所含有的因子最少 )， 不論是否與其他圈 “ 相重 ” ， 也要盡可能地畫(huà)大 。 第二步 ， 正確選擇乘積項(xiàng) ， 合并最小項(xiàng) 。 下面以三變量 、 四變量卡諾圖為例 ， 來(lái)熟悉此合并規(guī)律 ， 見(jiàn)圖 。 可見(jiàn)與前面的結(jié)論一致 。 若要畫(huà) 的卡諾圖 ， 則只要將 中的各個(gè)最小項(xiàng)用 “ 0”填進(jìn)卡諾圖 ，其余填 “ 1”。 (3)與每一格 “ 相鄰 ” 的格數(shù)是隨著變量的增加而增加的 ， “ 相鄰格數(shù) ” 等于 “ 變量數(shù) n”。 上邊一半?yún)^(qū)域表示 ， 下邊一半?yún)^(qū)域表示 A。 最小項(xiàng)個(gè)數(shù)為 22=4個(gè) ，我們用 4個(gè)小方塊分別表 示 4個(gè)最小項(xiàng) mi， 如圖 。 先列出真值表如表 。 為敘述和書(shū)寫(xiě)方便 ， 通常用 “ mi”表示最小項(xiàng) ， 并按如下規(guī)則確定下標(biāo) “ i”的值：把變量的每一個(gè)組合的取值都看成二進(jìn)制碼 ， 與之相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)就是 i的值 。 例如：
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