應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文分塊矩陣行列式計(jì)算的若干方法(完整版)
【正文】 ????? DC BAT ,其中 DA, 分別是 m 階和 n 階方陣 ,B 是 nm? 階矩陣 ,C 7 是 mn? 階矩陣 ,則 (1) 當(dāng) A 可逆時(shí) ,有 ?TDC BA? A BCAD 1?? . (2) 當(dāng) B 可逆時(shí) ,有 ?TDC BA? D CBDA 1?? . 證明 (1)由于 A 為可逆矩陣 ,用分塊矩陣的初等變換 C 把消為零矩陣 ,得 ?????? ??????????????? ?? BCAD BADC BAECAE nm 11 00 對(duì)兩邊的矩陣取行列式 ,并且由 101 ???????? ? nm ECAE ,得 ?T BCAD 1?? . (2)與 (1)的證明大致相同 . 推論 設(shè) DCBA , 都是 n 階方陣 ,其中 A ? 0,并且 CAAC? ,則有 DC BA? CBAD? . 證明 根據(jù)性質(zhì) ,因?yàn)?1?A 存在 ,并有 CAAC? ,用 ? ?1??CA 乘矩陣 ?????? DC BA的第一行后加到第二行中去得 BCADABCAD BCAA 1110??? ???????? ?? CBADBC A AADBA C AAD ????? ?? 11 . 例 計(jì)算行列式 ?P4110320143422113. 解 設(shè) ?PDC BA,其中 ?A ?????? 42 13, ?B ?????? 43 21, ?C ?????? 10 01, ?D ?????? 41 32. 8 由計(jì)算知 010??A ,且 CAAC? , 所以 P ? CBAD? ? ????????????????????????? 432110 0141 3242 13 ? 185 116 53? . 利用分塊矩陣求高階行列式 推論 設(shè) BA, 都是 n 階方陣 ,則有 AB ? A B . 證明 作 n2 階行列式 EAABC 0?, 由拉普拉斯展開(kāi)定理得 C ? AB E ? AB ,又由性質(zhì) 并應(yīng)用于列的情況 , 則有 EAAB0?EEB AABAB??0?EB A?0? ? ? nn 2.......3211 ??????? A B? ? ? ? ? ? ? BABA nnn ???? ? 11 [8]. 推論 設(shè) BA, 都是 n 階方陣 ,則有 AB BA? BA? BA? . 證明 根據(jù)性質(zhì) ,并應(yīng)用于下列的情況 ,有 AB BA?AAB BBA???BABBA ??0? BA? BA? . 例 計(jì)算 n2 階行列式 9 D ?abababbababa000000000000000000000000????????????. 解 令 ?A????????????????aaaa????????000000000000, ?B????????????????0000000000000????????bbb, 則 D ?AB BA? BA? BA? ?ababbaba00000000????????ababbaba00000000???????????? ? ? ?nba? ? ?nba? ? ? ?nba 22 ? . 結(jié)束
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