【正文】 原點處，試判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。n2=length(i2)。 ? end 0111????????x = x執(zhí)行結(jié)果顯示： P0,正定，系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的 課后作業(yè) ? P216， 7－ 1 控制系統(tǒng)的時域分析 利用時域分析方法能夠了解控制系統(tǒng)的動態(tài)性能，如系統(tǒng)的上升時間，調(diào)節(jié)時間，超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差都可以通過系統(tǒng)在給定輸入信號作用下的過渡過程來評價。 ? 如只想繪制出系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 ， 則可以由如下的格式調(diào)用此函數(shù) ? step(num,den,t) ? step(A,B,C,D,t) ? 當(dāng)然 ， 時間向量 t 也可以省略 ， 此時 ，MATLAB自動選擇一個比較合適的仿真時間 。disp([‘最大超調(diào)量M=‘ num2str(M) ‘%’]) ? 執(zhí)行結(jié)果為：最大超調(diào)量 M＝ %，單位階躍響應(yīng)曲線如圖 5－ 3中曲線所示。 num=wn.^2。 圖 54 例 5－ 7的單位階躍響應(yīng)曲線 ? 【 例 5－ 8】 對例 5－ 7中典型二階系統(tǒng)，繪制出 ? ， 取 2， 4， 6， 8， 12時的單位階躍響應(yīng)。Step Response39。 )(22?????zzzzzG圖 57 例 5－ 9的單位階躍 響應(yīng)曲線 ? 例 510 對于多入多出系統(tǒng) ? 求單位階躍響應(yīng)。2 2。 ? 同樣對于離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)函數(shù) dinitial()的調(diào)用格式為： ? [y,x]=dinitial(A,B,C,D,x0) ? 或 [y,x]=dinitial(A,B,C,D,x0,n) ? 其中 ,n為取樣點數(shù) ， 省略時由函數(shù)自動選取 。0]。subplot(2,2,1)。1。pzmap(z,p)。 ? t=(0::10)。 ? 【 例 5－ 13】 對離散系統(tǒng) ? 求當(dāng)輸入為幅值 177。) ? 執(zhí)行后可得如圖 5－ 10所示的仿真結(jié)果。 ? 對于單變量系統(tǒng) ， 用 pzmap()函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)可求出系統(tǒng)的的零極點；對單多變量系統(tǒng) ，用 pzmap()可求出系統(tǒng)的特征向量和傳遞零點 。 ? 例 514 已知某負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ? 試繪制系統(tǒng)根軌跡 ， 并分析系統(tǒng)穩(wěn)定的 K值范圍 。 ? n?/10,? 0~?? 。 ? 解： MATLAB的程序為 ? num=[2 5 1]。MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱提供了多種求取線性系統(tǒng)頻率響應(yīng)曲線的函數(shù)，如表 53所示。 ? bode(A,B,C,D) %可繪制出以狀態(tài)空間表達式 所表示系統(tǒng)的每個輸入的 Bode圖。 解： 當(dāng) a取 , Bode圖可直接采用 bode( )函數(shù)得到。 title(‘Bode plot’)。 ? 解： MATLAB程序為： ? ?0 1 0 0 00 0 1 0 0( ) ( ) ( )0 0 0 1 062 .5 21 20 54 1( ) 15 62 18 75 0 0 ( )t t u ty t t? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?????xxx? % ? w=logspace(1,1)。1]。 ? Gm = ? ? Pm = ? ? Wcg = ? ? Wcp = ? ? 幅值裕量 =，相位裕量 =，即 ? ω＝ ，相位曲線穿越－ 180 線，幅值裕量為 Gm==。 ? F=freqresp(num,den,sqrt(1)*w) ? 結(jié)果顯示： 324 3 27 2 4 2 4()1 0 3 5 5 0 2 4s s sGss s s s? ? ??? ? ? ?? F = ? ? ? ? ? ? ? ? MATLAB也提供了直接求取 LTI系統(tǒng)（ LTI系統(tǒng)的定義參見第九章）在單個復(fù)數(shù)頻率點處的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)的函數(shù) evalfr()，其調(diào)用格式為： ? F= evalfr(sys,w) ? 式中， F為頻率響應(yīng)， w為給定的頻率向量。 ? Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)可表示為：當(dāng) ω從－ ∞ → + ∞變化時 ， Nyquist曲線 G(jω)H(jω)逆時針包圍 (1,j0)點的次數(shù) N， 等于系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)位于右半 s平面的極點數(shù) P， 即 N＝ P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定 ， 否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定 。 )()(23 ???? ssssHsG圖 516 例 5－ 20的 Nyquist曲線 ? 例 【 5－ 21】 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： ? 繪制系統(tǒng)的 Nyquist曲線，并判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ? ? ? ? ? ?1 6 .7()0 .8 1 0 .2 5 1 0 .0 6 2 5 1sGss s s? ? ? ? G (s) 10 R (s) Y (s) 圖 5－ 18 例 5－ 22的圖 ? 解：先算出內(nèi)環(huán)傳遞函數(shù)， ? 然后以 G0(s)為開環(huán)傳遞函數(shù)繪制出 Nyquist曲線，但這里不能直接采用奈氏判據(jù)，因為在前向通道上有一放大系數(shù) k=10,因此，奈氏判據(jù)中的臨界點應(yīng)改成 (1/k,j0)點。[num1,den1]=zp2tf(z,p,10*k)。 解 MATLAB程序為 % num=1。當(dāng) w省略時，頻率點在 0~ 弧度之間自動選取。1]。由此可見，帶有時間延遲的系統(tǒng)從某種意義上說，相當(dāng)于在一個不帶時間延遲的傳遞函數(shù)模型后面串接一個純時間延遲環(huán)節(jié) 。 ? 解： MATLAB程序為： ? % ? num1=[1 1]。 ? numT=conv(n2,num1)。39。 ? [num,den]=invfreqs(mag.*exp(sqrt(1)*phase),w,m,n) ? 除了由頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)來辨識系統(tǒng)模型外，還可以根據(jù)階躍響應(yīng)及脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的傳遞函數(shù)進行辨識，其具體的做法是，首先將階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)或脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為響應(yīng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，然后再根據(jù)上面的方法來辨識原系統(tǒng)的模型。 ? F=freqresp(num,den,sqrt(1)*w) ? [num,den]=invfreqs(F,w,3,4),printsys(num,den) ? 結(jié)果顯示： ? num = ? ? den = ? ? ? num/den = ? ? 1 s^3 + 7 s^2 + 24 s + 24 ? ? s^4 + 10 s^3 + 35 s^2 + 50 s + 24 ? 利用 MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱，不僅可以分析系統(tǒng)的能控性和能觀測性。 系統(tǒng)的能控性和能觀測性分析 函數(shù)名 功能 ctrb() 求能控性矩陣 obsv() 求能觀測性矩陣 gram() 求能控性或能觀測性Gram矩陣 表 5－ 4 模型屬性函數(shù) 函數(shù)名 功能 dgram() 求離散系統(tǒng)的能控性或能觀測性 Gram矩陣 ctrbf() 將系統(tǒng)按能控性和不能控性進行分解 obsvf() 將系統(tǒng)按能觀測性和不能觀測性進行分解 續(xù)表 ? 系統(tǒng)的能控性和能觀測性 ? 能控性和能觀測性是現(xiàn)代控制理論中兩個重要的基本概念，是設(shè)計控制器和狀態(tài)估計器的基礎(chǔ)。這樣由脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)的辨識問題就轉(zhuǎn)換成由頻率響應(yīng)辨識的問題了。 101100101102 1 0 0 8 0 6 0 4 0 2 00101100101102 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 00圖 5－ 22 Bode圖 對于某些比較復(fù)雜的控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往沒有辦法從物理上得出，但可以通過適當(dāng)?shù)膶嶒炇侄螠y試出系統(tǒng)的某種響應(yīng)信息，如可以通過頻率響應(yīng)測試出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)，或通過數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)來測試出系統(tǒng)時間響應(yīng)的輸入與輸出數(shù)據(jù)。 ? [m2,p2]=bode(numT,denT,w)。 ? w=logspace(1,2)。 帶時間延遲的連續(xù)控制系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可以由以下兩種方法直接求得，即精確法和近似法。D=0。當(dāng)然這一函數(shù)的調(diào)用格式也可以簡化成下面格式 : ? dbode(num,den,Ts,w) ? dbode(G,H,C,D,Ts,iu,w) ? 更簡單地 dbode(num,den, Ts) ? 或 dbode(G,H,C,D,Ts,iu) ? 在這種情況下 ， 將直接繪制出離散時間系統(tǒng)的Bode圖 。 w=logspace(1,1,400)。 ? [z,p,k]=tf2zp(num,den)。z1=[0]。z=[]。 ? 當(dāng)然也可使用下面的簡單命令來直接繪出系統(tǒng)的奈奎斯特圖 。 ? 解： MATLAB程序為： ? % ? w=0+。 ? 1 00102030Magnitude (dB)101100101 1 8 0 1 3 5 9 0 4 50Phase (deg)G a i n m a r g i n = 4 . 4 9 2 2 P h a s e m a r g i n = 2 3 . 0 7 0 6F r e q u e n c y ( r a d / s e c )圖 515 Bode 圖 ? 除了根據(jù)系統(tǒng)模型直接求取幅值和相位裕量之外 ， MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中還提供了由幅值和相位相應(yīng)數(shù)據(jù)來求取裕量的方法 ， 這時函數(shù)的調(diào)用格式為 ? [Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(mag,phase,w) ? 式中 ,頻率響應(yīng)可以是由 bode( )函數(shù)獲得的幅值和相位向量 ， 也可以是系統(tǒng)的實測幅值與相位向量 ， w為相應(yīng)的頻率點向量 。D=0。0 0 1 0。 從圖中可以看出，當(dāng) ω→ 0時，相角趨于 0，當(dāng) ω→∞ 時，相角趨于 1800，當(dāng) ω=ω n時，相角等于 900，此時的幅值也最大。 a=[::]。 ? bode(num,den,w) ? 和 bode(A,B,C,D,iu,w) %可利用指定的頻率點向量 繪制系統(tǒng)的 Bode圖。此函數(shù)的調(diào)用格式為 ? ω=logspace(m,n,npts) ? 此命令可生成一個以 10為底的指數(shù)向量(10m∽ 10n )， 點數(shù)由 npts任意選定 。 ? rlocus(num,den)。（）函數(shù)有以下幾種調(diào)用格式。den=conv([1,0],conv([1,1],[1,2]))。 ? 對于圖 511所示的負反饋系統(tǒng) ， 其特征方程可表示為 ? ? 或 ? ? 利用 rlocus( )函數(shù)可繪制出當(dāng)開環(huán)增益 K由 0至 ∝ 變化時 ， 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根在 s平面變化的軌跡 ， 該函數(shù)的調(diào)用格式為 ? [r,K]=rlocus(num,den) ? [r,K]=rlocus(num,den, K) ? 或 [r,K]=rlocus(A,B,C,D) ? [r,K]=rlocus(A,B,C,D, K) ? 其中 返回值 r為系統(tǒng)的閉環(huán)極點 ， ? K為相應(yīng)的增益 。 ? 所謂根軌跡是指，當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程根在 s平面上所形成的軌跡。 ? 解： MATLAB程序為： 20. 63 2()1. 36 8 0. 56 8Gz zz? ??? % ? num=。u=1*(rem(t,period)=period./2)。Discrete PoleZero Map39。1]。Discrete step response39。D1=0。 0 0 0。C=[0 0 0 1。 MATLAB程序如下： 5 4