【正文】 而且可對(duì)不完全能控或不完全能觀測(cè)的系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)分解，函數(shù)如表 5－ 4所示。由脈沖響應(yīng)數(shù)據(jù)求取頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)的方法是很顯然的，因?yàn)槊}沖響應(yīng)函數(shù) g(t)和頻率響應(yīng)函數(shù) G(j )滿足下面的關(guān)系： ? 其中， Tf取得足夠大就可以由數(shù)值積分的算法得出頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)。) ? ?0 .531()2ssG s es????? 執(zhí)行后可得如圖 5－ 22所示的 Bode圖，圖中實(shí)線為系統(tǒng)采用精確法后的 Bode圖，虛線為系統(tǒng)采用近似法的 Bode圖。denT=conv(den1,d2)。 ? den1=conv([1,2],conv([1,2],[1,2]))。帶時(shí)間延遲的狀態(tài)方程模型可以寫成：( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )t t tttt?????? ???x = A x B uy = C x Du（ 5－ 6） 其中， 矩陣和不含有時(shí)間延遲是類似的。C=[1 2 0]。返回值mag,phase則分別為該系統(tǒng)的幅值和相位向量，通過(guò)它們可以繪制出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)曲線。den=conv([1,0],conv([1,1],[,1]))。[num,den]=cloop(num1,den1)。 MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? k1=(**)。 ? 解： MATLAB命令為： ? k=50。 nyquist( )函數(shù)的調(diào)用格式為 [Re,Im,w]=nyquist(num,den) [Re,Im,w]=nyquist(num,den,w) [Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D) [Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D,iu) [Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D,iu,w) 其中 返回值 Re,Im和 w分別為頻率特性的實(shí)部向量、虛部向量和對(duì)應(yīng)的頻率向量，有了這些值就可利用命令plot(Re,Im)來(lái)直接繪出系統(tǒng)的奈奎斯特圖。 ? 例 【 5－ 19】 求例 5－ 18所示系統(tǒng)在頻率等于 的頻率向量。 ? ω＝ ，系統(tǒng)的幅值為 1，相位裕量為 Pm為。 ? C=[1562 1875 0 0]。 ? A=[0 1 0 0。 hold off 執(zhí)行后得如圖 514所示 Bode圖 。 MATLAB程序?yàn)? ： 29()69Gs s a s? ?? % w=logspace(0,1)。 ? bode(A,B,C,D,iu) %可得從系統(tǒng)第 iu個(gè)輸入到所有輸出的 Bode圖，其中頻率范圍由函數(shù)自動(dòng)選取，而且在響應(yīng)快速變化的位置會(huì)自動(dòng)采用更多取樣點(diǎn)。 函數(shù)名 功能 函數(shù)名 功能 logspace() 產(chǎn)生頻率向量 ngrid() 尼柯?tīng)査咕W(wǎng)格線 bode() 連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖 sigma() 連續(xù)系統(tǒng)奇異值頻率圖 dbode() 離散系統(tǒng)的伯德圖 dsigma() 離散系統(tǒng)奇異值頻率圖 nyquist() 連續(xù)系統(tǒng)的奈奎斯特圖 freqresp() 求取頻率響應(yīng)值 dnyquist() 離散系統(tǒng)的奈奎斯特圖 evalfr() 求取單個(gè)復(fù)數(shù)頻率點(diǎn)處的頻率響應(yīng)值 nichols () 連續(xù)系統(tǒng)的尼柯?tīng)査骨€ margin() 求幅值裕量、相位裕量及對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率 dnichols () 離散系統(tǒng)的尼柯?tīng)査骨€ 表 5－ 3頻域響應(yīng)函數(shù) ?1. 產(chǎn)生頻率向量 ? 頻率向量可由 logspace( )函數(shù)來(lái)構(gòu)成 。den=[1 2 3]。n?（）函數(shù)可在連續(xù)系統(tǒng)的根軌跡或零極點(diǎn)圖上繪制出柵格線，柵格線由等阻尼系數(shù)和等自然頻率線構(gòu)成，阻尼系數(shù) 的步長(zhǎng)為 ；自然頻率 的步長(zhǎng)為 范圍為 。 ? 解： MATLAB的程序?yàn)? ? % ? num=1。當(dāng)帶有輸出變量時(shí) ， 可得到零極點(diǎn)位置 ， 如需要可通過(guò) pzmap(p,z)繪制出零極點(diǎn)圖 ， 圖中的極點(diǎn)用 “ ”表示 ， 零點(diǎn)用 “ o”表示 。 0 50 100 150 200 250 300432101234D i s c r e t e S y s t e m S i m u l a t i o nT i m e ( s e c )Amplitude圖 510 例 5－ 13的仿真結(jié)果 根軌跡法 ? 根軌跡是分析和設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)的一種非常簡(jiǎn)便的圖解方法，特別適用于多回路系統(tǒng)的研究。 1的方波信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。period=4。 ? title(39。1。dstep(A,B,C,D),title(39。C1=[1 1 1 1]。 ? 【 例 5－ 11】 已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： ? 以 T＝ ，采用雙線性變換算法轉(zhuǎn)換成離散系統(tǒng)，然后求出離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)、單位脈沖響應(yīng)及零輸入響應(yīng)（設(shè)初始狀態(tài) x0=[1 1 1 1]T） ? 解： MATLAB的程序?yàn)椋? ? ? 0 0 1 0 0 0 0 5 10 0 5 0 01111uy? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ????x = x +=x? % ? A1=[ 0 0。0 2]。 ? 解：這是雙入雙出系統(tǒng)，因此其階躍響應(yīng)應(yīng)有 4個(gè)。)。 ? 解： MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? w=[2:2:12]。 den=[1,2*k*wn,wn.^2]。 4 3 220()8 36 40Gss s s s?? ? ?? 另外，對(duì)于例 5－ 6結(jié)果，也可利用step(num,den,t)命令得到。 ? 【 例 5－ 6】 假設(shè)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 ? 試求該系統(tǒng)在單位負(fù)反饋下的階躍響應(yīng)曲線和最大超調(diào)量。Matlab控制系統(tǒng)工具箱中提供了多種求取多種線性系統(tǒng)在特定輸入下的時(shí)間響應(yīng)曲線的函數(shù)，如表 5－１所示。 ? if(n10 amp。 ? 解： MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? A=[0 1。 if(n0) disp(‘System is Unstable’)。)。 1。 End 執(zhí)行結(jié)果顯示： system is Unstable,with 1 unstable pole 5 4 3 255 4 0 . 6 3 0 . 5( ) ,z z z z zGzz? ? ? ? ?? 對(duì)于線性定常系統(tǒng) 稱多項(xiàng)式 為系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式。 if (n10) disp([39。end 執(zhí)行結(jié)果顯示： The Unstable Poles are: + 當(dāng)然，如果增加以下兩條語(yǔ)句，則可畫出例 51 系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，如圖 51所示。n1=length(ii)。由此可見(jiàn)，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性完全取決于系統(tǒng)的極點(diǎn)在根平面上的位置。對(duì)控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型實(shí)際上就是某種微分方程或差分方程，因而在仿真過(guò)程中需要根據(jù)某種數(shù)值算法從系統(tǒng)給定的初始值出發(fā)，逐步地計(jì)算出每一個(gè)時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)，最后繪制出系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，由此來(lái)分析系統(tǒng)的性能。 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 在分析控制系統(tǒng)時(shí)，首先遇到的問(wèn)題就是系統(tǒng)的穩(wěn)定性。den=[3 5 1 2 2 1]。 else disp(39。 r=roots(denc)。 else disp(39。 解：可利用以下的 MATLAB程序。n=length(ii)。 r=eig(A)。 ? MATLAB提供了李雅普諾夫方程的求解函數(shù)lyap( )，其調(diào)用格式為 ? P=lyap(A ,Q) ? 式中， A,Q和 P矩陣與式（ 53）中各矩陣相對(duì)應(yīng)。n1=length(i1)。系統(tǒng)不穩(wěn)定 39。 ? plot(t,u) ? axis([0,30,–,]) 圖 52 方波信號(hào) ? ? 單位階躍響應(yīng)函數(shù) step( )的調(diào)用格式為 ? [y,x,t]=step(num,den,t) ? 或 [y,x,t]=step(A,B,C,D,iu,t) ? 式中 ,t為選定的仿真時(shí)間向量 。[y,x,t]=step(num,den,t)。 figure(1)。hold off 執(zhí)行后可得如圖 55所示的單位階躍響應(yīng)曲線。 ? step(num,den)。 dstep(num,den)。 ? B=[4 6。step(A,B,C,D) 00 . 511 . 52F r o m : I n ( 1 )To: Out(1)0 2 4 6 8 10 120246810To: Out(2)F r o m : I n ( 2 )0 2 4 6 8 10 12S t e p R e s p o n s eT i m e ( s e c )Amplitude圖 57 例 5－ 10的結(jié)果曲線 ? ? 單 位 脈 沖 響 應(yīng) 函 數(shù) impulse( ) 和dimpulse( )與單位階躍函數(shù) step( )和 dstep( )的調(diào)用格式完全一致 ， 這里就不一一列寫了 。0。)。) ? subplot(2,2,3)。) ? subplot(2,2,4)。 ? 解：利用函數(shù) rem()編寫的 MATLAB程序?yàn)椋? ? % ? num=[2 5 1]。) ? 執(zhí)行后可得如圖 5－ 9所示的輸出響應(yīng)曲線。 ? figure(1),dlsim(num,den,u),title(39。 zgrid() 繪制離散系統(tǒng)的 網(wǎng)格根軌跡。當(dāng)帶有輸出變量的引用函數(shù)時(shí)，可得到根軌跡的位置列向量 r及相應(yīng)的增益 K列向量，再利用 plot(r,’x’)可繪制出根軌跡。 ? sgrid（）函數(shù)有以下幾種調(diào)用格式。在已有的圖形上繪制柵格線（’ ） 先清除圖形屏幕，然后繪制出柵格線，并設(shè)置成 使后續(xù)的繪圖命令能繪制在柵格上；（ ） 可指定阻尼系數(shù) 和自然頻率并且在繪制柵格線之前清除圖形窗口。它的基本原理是，若一個(gè)線性系統(tǒng)受到頻率為 的正弦信號(hào)，但其幅值 M( )與輸入信號(hào)成比例關(guān)系，而且輸出與輸入信號(hào)之間有一個(gè)相位差 ， M( )和 是關(guān)于 的有理函數(shù)，這樣就可以通過(guò) M( )和 來(lái)表示系統(tǒng)的特征了。 10111( ) ( ) .. .()( ) ( ) .. .mmmnnnb j b j bGjj a j a???????? ? ??? ? ?()Gj? ()Gj???? 連續(xù)系統(tǒng)的伯德圖可利用 bode( )函數(shù)來(lái)繪制，其調(diào)用格式為 ? [mag,phase,w]=bode(num,den) ? [mag,phase, w]=bode(num,den, w) ? [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D) ? [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D,iu) ? [mag,phase, w]=bode(A,B,C,D,iu, w) ? 式中 ,num,den和 A,B,C,D分別為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程的參數(shù)，而 w為頻率點(diǎn)構(gòu)成的向量。semilogx(w,phase) ? 在同一個(gè)窗口上同時(shí)繪制出系統(tǒng)的 Bode圖了 ， 其中前一條命令中對(duì)幅值向量 mag求取分貝 (dB)值 。 bode(num,den, w)。 相位裕量 ： 對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng) ， 如果系統(tǒng)開(kāi)環(huán) 相 頻特性再滯后 度 ， 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 。0。])。num=[1 7 24 24]。F=evalfr(sys,w)。den=[1 2 1 ]。由圖可知， ? Nyquist曲線按逆時(shí)針?lè)较虬鼑?(1,j0)點(diǎn) 1次，而開(kāi)環(huán)系統(tǒng)包含右半 s平面上的一個(gè)極點(diǎn)，所以以此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。nyquist(num,den)。但 Nichols圖的繪制方式和 Bode圖是不同的 ， 它可由以下命令繪制 ? plot(phase,20*log10(mag)) ? 當(dāng)然 ， Nichols圖也可采用與 Bode圖類似的簡(jiǎn)單命令來(lái)直接繪制 。 例如 ， dbode()函數(shù)的調(diào)用格式為： [mag,phase]=dbode(num,den,Ts,w) ? 或