偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用(完整版)
【正文】 的情形 ),( yxfz ?曲面在 M處的 切平面方程 為 ,0)())(,())(,( 0000000 ?????? zzyyyxfxxyxf yx曲面在 M處的 法線方程 為 .1),(),( 0000000?????? zzyxfyyyxfxxyx,),(),( zyxfzyxF ??令 ,xx fF ? .1??zF,yy fF ?或 ,))(,())(,( 0000000 zzyyyxfxxyxf yx ?????{ , , 1}xyn f f??顯式方程 0 0 0 0 0 0 0 0 0{ ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) }x y zn F x y z F x y z F x y z?偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 24 例 5 過上所有點處的切平面都證明曲面 xyxez ?.一定點 證 ,),( 000 是曲面上任一點設(shè) zyx 0000xyexz ?則法向量為 切平面方程為 0)()()()1( 00000 0000????????? zzyyexxexy xyxy),( yxfz ? { , , 1}xyn f f??,)1( 0000 xyexy??n?{},00xye 1?偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 25 0])1[()1( 0000000 00000000???????? zyexexyzyexexy xyxyxyxy0?0)()()()1( 00000 0000????????? zzyyexxexy xyxy,0)1( 000000 ???? zyexexy xyxy所以這些平面都過 0 0 0xyxez ?原點 . 過上所有點處的切平面都證明曲面 xyxez ?.一定點偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 26 04222 ????? zyxyxz 與平面曲面平行的切平面的方程是 ( ). 542 ??? zyx偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 27 例 6 證 ,0)(().( ???? aufczbyfaxz 可微證明曲面)均為常數(shù)、 cb 的所有 切平面都與一常向量 平行 . 則曲面在任一點處的 法向量 : ,azczbyfaxzyxF ???? )(),(令則 { },A ??n A bczbyfbcczbyfbcb ???????? )()(,0?即 n A?所以 ,所有的切平面均與 ),( bcab ?常向量 平行 . 0),(: ?zyxF曲面方程Mzyx FFFn ),( ,??曲面在 M處的法向量 : 1)( ??? czbyfc?n? {}),( czbyfb ??,ab取 ,c? b偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 28 例 7 ?????????0523zyxzyx85222 22 ??? zyx 證 85222),( 22 ???? zyxzyxF令過直線 L的平面束方程為 523 ??? zyx即 05)1()2()3( ??????? zyx ???其 法向量 為 )1,2,3( ??? ???,4 xF x ? 2?zF ,4 yF y ??0)( ???? zyx?求過直線 L 且與曲面 相切之切平面方程 . 偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 29 設(shè)曲面與切平面的切點為 ),( 000 zyx 則 過直線 L的平面束方程其 法向量 為 ,4 xF x ? 2?zF ,4 yF y ??,85222),( 22 ???? zyxzyxF???????tyx ???? ??? 2 14 24300???05)1()2()3( 000 ??????? zyx ???8522202020 ??? zyx? ,3,1 21 ?? tt 因而 7,3 21 ?? ??)1,2,3( ??? ???偏導(dǎo)數(shù)在幾何上的應(yīng)用 30 過直線
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