湖南卷-理科數(shù)學(xué)試題及答案20xx年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案-湖南卷(完整版)
【正文】 ?′ 令 ( ) 2 ln( 1 ) 2 ,h x x x? ? ?則 22( ) 2 .11 xhx xx?? ? ???′ 當(dāng) 10x? ? ? 時， ( ) 0, ( )h x h x?′ 在（－ 1， 0）上為增函數(shù)， 當(dāng) x＞ 0 時， ( ) 0, ( )h x h x?′ 在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 所以 h(x)在 x=0 處取得極大值，而 h(0)=0,所以 ( ) 0( 0)g x x??′ ，函數(shù) g(x)在 ( 1, )? ?? 上為減函數(shù) . 于是 當(dāng) 10x? ? ? 時， ( ) (0) 0,g x g?? 當(dāng) x＞ 0 時， ( ) (0) x g?? 所以，當(dāng) 10x? ? ? 時， ( ) 0, ( )f x f x?′ 在（－ 1， 0）上為增函數(shù) . 當(dāng) x＞ 0 時， ( ) 0, ( )f x f x?′ 在 (0, )?? 上為減函數(shù) . 故函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－ 1， 0）， 單調(diào)遞減區(qū)間為 (0, )?? . （Ⅱ）不等式 1(1 )na en ???等價于不等式 1( ) ln(1 ) n? ? ?由 111n??知， 1 .1ln(1 )ann??? 設(shè) ? ?11( ) , 0 , 1 ,ln (1 )G x xxx? ? ??則 222 2 2 21 1 ( 1 ) l n ( 1 )( ) .( 1 ) l n ( 1 ) ( 1 ) l n ( 1 )x x xGx x x x x x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?′ 由（Ⅰ）知， 22ln (1 ) 0,1 xx x? ? ?? 即 22(1 ) ln (1 ) x x? ? ? ? 所以 ? ?( ) 0, 0,1 ,G x x??′ 于是 G(x)在 ? ?0,1 上為減函數(shù) . 故函數(shù) G（ x）在 ? ?0,1 上的最小值為 1(1) 2G ?? 所以 a 的最大值為 1 ? 。點 E 正北 55 海里處有一個雷達(dá)觀測站 A。 （Ⅱ）求平面 PAD 和平面 PBE 所成二面角（銳角）的大小 . 解 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結(jié) BD，由 ABCD 是菱形且∠ BCD=60176。 (2)若 f(x)在區(qū)間 ? ?0,1 上是減函數(shù)，則實數(shù) a 的取值范圍是 ? ? ? ?,0 1,3?? ? . 15. 對有 n (n≥ 4)個元素的總體｛ 1， 2， 3，?， n｝進行抽樣，先將總體分成兩個子總體｛ 1， 2，?， m｝和｛ m+1， m+2，?， n｝ (m是給定的正整數(shù)，且 2≤ m≤ n－ 2)，再從每個子總體中各隨機抽取 2個元素組成樣本，用 Pij表示元素 i 和 j同時出現(xiàn)在樣本中的概率，則P1n= 4()mn m?；所有 Pif(1≤ i＜ j≤ ?n 的和等于 6 . 三、解答題：本大題共 6 小題，共 75 分。 11.21 1lim 34x xxx? ? ???15. 221xyab??（ a＞ b＞ 0）的右焦點為 F，右準(zhǔn)線為 l，離心率 e= 過頂點 A(0,b)作 AM ? l,垂足為 M，則直線 FM 的斜率等于 12 . y=f (x)存在反函數(shù) y= f－ 1（ x），且函數(shù) y = x－ f (x)的圖象過點（ 1， 2），則函數(shù) y=f－ 1(x)－ x 的圖象一定過點 (－ 1,2) . f(x)＝ 3 ( 1).1ax aa? ?? （ 1）若 a＞ 0,則 f(x)的定義域是 3,a????? ???。 E 是CD 的中點， PA⊥底面 ABCD， PA＝ 2. （Ⅰ）證明：平面 PBE⊥平面 PAB。則相 關(guān)各點的坐標(biāo)分別是 A（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， 3 3 1 3( , ,0), ( , ,0),2 2 2 2CDP（ 0， 0， 2）， E(1, 23 ,0) （Ⅰ）因為 3(0, ,0)2BE ? ，平面 PAB 的一個法向量是 0 (0,1,0)n ? ，所以 0BE n和 共線 .從而 BE⊥平面 PAB. 又因為 BE? 平面 PBE，故平面 PBE⊥平面 PAB. (Ⅱ )易知 3(1 , 0 , 2 ) , ( 0 , 02P B B E? ? ? ， ） ， 13( 0 , 0 , 2 ) , ( , , 0 )22P A A D? ? ? 設(shè) 1 1 1 1( , , )n x y z? 是平面 PBE的一個法向量，則由 110,0n PBn BE? ????????得 1 1 11 1 10 2 0 ,30 0 0.2x y zx y z? ? ? ???? ? ? ? ? ???所以 1 1 1 10 , 2 . ( 2 , 0 ,
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