幾類常見的不可數(shù)集合證明(完整版)
【正文】 又稱三分集 .是位于一條線段上的一些點(diǎn)的集合 ,具有許多顯著和深刻的性質(zhì) ,常常是集合論中構(gòu)造特例的基礎(chǔ) .最常見的構(gòu)造是康托爾三分點(diǎn)集 ,長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 9 由不斷地去掉一條線段的中間三分之一得出 .著名的康托爾集是這樣構(gòu)成的： 定義 (1)設(shè)閉區(qū)間 ??1,0 R? ,將 ??1,0 三等分 ,并除去中間開區(qū)間 1I =(31 , 32 ).得兩個(gè)閉區(qū)間 =[0,31 ], =[32 ,1],區(qū)間長度為 1L =31 . (2)分別將閉區(qū)間 , 三等分 ,并出去中間兩個(gè)開區(qū)間 =(91 ,92 ), = (97 ,98 ).得到四個(gè)閉區(qū)間 =[0,91 ]、 =[92 ,31 ]、 =[32 ,97 ]、 =[98 ,1],區(qū)間長度為 2L =231. (3)一般地 ,仿此繼續(xù)下去 ,到第 n 次 ,除去了 12?n 個(gè)開區(qū)間 ,得到 n2 個(gè)閉 區(qū)間 ,nnnn FFF . , ?,區(qū)間長度031nL?.我們得到集合列 ?nF . nn FF ? ? ?? nnF2. ( ?21，?n ).作集合 ???? 1n nFC 稱集合 C 為 Cantor(三分 )集 . 定理 Cantor 集合是不可數(shù)集 . 證明 如果一個(gè)集合 E 與 D 1— 1對應(yīng) ,則 E 是不可數(shù)的 .其中 D 是由兩個(gè)數(shù)字重復(fù)排列而得到的序列 ,如 ? 構(gòu)成的集合 D =｛ .0 21bb ? nb ? |ib =0或 1,i =1,2,? ｝ 不可數(shù) . 我們對于 ??1,0 上的點(diǎn) ,用三進(jìn)位表 示 法來表示 .構(gòu)建 Cantor集合時(shí) ,每次都把區(qū)間 ??1,0 三等分 ,并且除去了中間 的開區(qū)間 ,三進(jìn)位表示方法為： ??1,0 上的點(diǎn) ,每一次三等分后 ,依據(jù)它在三個(gè)區(qū)間的位置 ,對應(yīng)位數(shù)依次記為0,1,2,如下圖所示： 長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 10 0 A B C 1 第一次三等分 第二次三等分 第三次三等分 ??????????????????????????? 由上述圖示可 知 ,Cantor集合中的點(diǎn)三進(jìn)位表示法中僅出現(xiàn)數(shù)字 0和 2,不含數(shù)字 1,即 Cx?? (Cantor 集合 ),則 x 可以表示為： 21 或， ?? in aaaax ?? ,( ?， 21?i ) 得 ?C ｛ 20|.0 21 或， ?in aaaa ?? ,( ?， 21?i )｝與 D 1— 1 對應(yīng) . 所以 , Cantor 集合是不可數(shù)集 . 可數(shù)集的冪集是一個(gè)不可數(shù)集合 證明 令 N 為全體正整數(shù)所成的集合 .分別記 N 的所有子集 ,所有有限子集 ,所有無限子集所成的集族為 A , 0A 和 ?A ,則 A = 0A ? ?A , 0A ? ?A 為 空集 . 對于任意的 B ? ?A ,令 ? ? ??? Bk kB 21? ,那么 ? 是一個(gè)從 ?A 到 ? ?1,0 上的一對一的對應(yīng) .故 cA?? .另一方面 ,可證 aA?0 .因此 cA? ,即 ca?2 .即可數(shù)集的冪集長春師范學(xué)院本科畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 11 是不可數(shù)集 . 4 總結(jié)與應(yīng)用 本文 對幾類常見的不可數(shù)集合證明 做出 了總結(jié)和歸納 . 其中在證明實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集時(shí)用了很多種方法 ,并 多次利用反證法證明 ,在 用反證法 證明 的 過程中 ,做了假設(shè)之后 ,經(jīng)過推理出現(xiàn)了矛盾 ,應(yīng)該的做法是： ① 如果推理完全正確 ,推翻假設(shè)是應(yīng)該的 . ② 如果推理本身有誤 ,必先糾錯而不是簡單地推翻假設(shè) . 不可數(shù)集合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上有著重要的地位 ,其中 康托爾集合 在現(xiàn)代的物理科學(xué)的研究領(lǐng)域上 ,也有著 它特殊 的貢獻(xiàn) . 參考文獻(xiàn) ： [1] 薛昌興等 .實(shí)變函數(shù)與泛函分析
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