【正文】 () 其中 max? 是輸入信號(hào)的自相關(guān)矩陣 R 的最大特征值。但是在收斂速 度 、跟蹤速 度和 權(quán)失調(diào)噪聲之間 ，固定不變的步長(zhǎng)的 LMS 自適應(yīng)算法 的要求是相互矛盾的， 為解決這一難題， 各 式各樣的變步長(zhǎng) LMS 的算法被人們研究出來(lái)。 但 其特別不好的一面 是每次 進(jìn)行 迭代 時(shí)所需 的 計(jì)算 量 非常大 ，對(duì)于 N 階 的 橫向自適應(yīng) 濾波器，其 運(yùn)算 量在 N 的平方次數(shù)量級(jí)。 具體的，考慮到 21 )(),( ???? niin ieWn ?? () 的最小化。注意到 )1()()()()()1( ??? iWiXiXiXiXiW TTT 和式 ()，用 )(1nR? 與式 ()相乘 得到： )()()()()()1()()()()( 211 111 nWnWieiXnRiWiXiXnRnW niniTinTin ????? ? ?? ????? ?? () 為簡(jiǎn)化 )(1nW ， 構(gòu)建 )(nW 與 )1( ?nW 的關(guān)系， 我們可以 認(rèn)為 1?n 時(shí)刻及其以前時(shí)刻的濾波器參數(shù)相同，即： ?? )1()0( WW …… . )1( ?? nW 如此 ，利用式 ()及上述假定，就有 () 另一方面，為簡(jiǎn)化 )(2nW 的表達(dá)， 這里可以 認(rèn)為遺忘因 子 0?? 。收斂速度快 是 RLS 算法的優(yōu)點(diǎn) ， 而計(jì)算復(fù)雜度很高是其缺點(diǎn)。 λ 是一個(gè)可以改變均衡器性能的抽頭系數(shù)。 遞推最小二乘法即 RLS 算法，是最小二乘法的遞推形式引出一種自適應(yīng)算法，它是嚴(yán)格以最小二乘方準(zhǔn)則為依據(jù)的算法。 為了準(zhǔn)確地把一個(gè)控制系統(tǒng)的復(fù)雜模型輸入給計(jì)算 機(jī)，然后對(duì)之進(jìn)行進(jìn)一步的分析與仿真， MATLAB 提供了新的控制系統(tǒng)模型圖形輸入與仿真工具，定名為 Simulink。 %濾波器收斂因子 for q=1:g t=1:N。 xlabel(39。 %設(shè) 置抽頭加權(quán)初值 e=zeros(1,N)。信號(hào) s加噪聲后的時(shí)域波形 39。 %算法收斂曲線 t=1:Nk。圖 上圖為原始信號(hào)的信號(hào)圖，中間圖為原始信號(hào)加噪聲圖，下圖為濾波后信號(hào)時(shí)域圖。對(duì)比三圖，我們可以發(fā)現(xiàn)圖 中收斂速度不錯(cuò)，圖 中收斂速度加快，圖 收斂速度很慢 ，超出設(shè)定數(shù)軸時(shí)濾波效果還沒(méi)達(dá)到最佳狀態(tài)。 下面再通過(guò)設(shè)置不同的收斂因子 μ ,觀察濾波效果的差異，討論其重要性。 title(39。自適應(yīng)濾波后的輸出時(shí)域波形 39。 w=w+u*e(i)*XN。 xn=awgn(s,5)。 subplot(311) plot(s)。 %統(tǒng)計(jì)仿真次數(shù)為 g N=1024。指數(shù)加權(quán)因子 ? 的作用和 ? 的作用類似： RLS 算法的收斂速度比 LMS 算法快一個(gè)數(shù)量級(jí)。 λ 值越小，均衡器的跟蹤能力更強(qiáng)。為了討論進(jìn)行這樣的討論，必須對(duì)輸入過(guò)程的類別作出規(guī)定。為此，我們先引入一個(gè)著名的結(jié)果 —— 矩陣求逆引理。依據(jù)式 ()來(lái) 改變 濾波器參數(shù) 有兩個(gè)難點(diǎn) 。此時(shí)，一方面，恢復(fù)誤差： )()()( nXWnsn T??? () 另一方面，可以將 ()TWXn 視作為 )(nX 的預(yù)測(cè)。這是個(gè)在現(xiàn)有約束條件下利用了最多可利用信息的準(zhǔn)則，是在一定意義上最有效、信號(hào)非平穩(wěn)性能也最好的準(zhǔn)則。 將討論兩點(diǎn) 關(guān)于該算法的收斂速度 ：第一，對(duì)一個(gè)特定的信號(hào)環(huán)境，收斂速度和步長(zhǎng)因子 ? 有何關(guān)系。因而得到了廣泛的應(yīng)用。這種瞬時(shí)估計(jì)是無(wú)偏的，因?yàn)樗钠谕?E[]和 最陡下降法的梯度矢量 相等 。 其中， ? ? ? ?TR E x n x n??????是 輸入信號(hào) NN? 的 自相關(guān)矩陣 ，? ? ? ?? ?nxndEP ?? 是 1?N 互相關(guān)向量 ，道 出了 )(dn 和 )(xn 間的 相關(guān)矢量 關(guān)系 。 LMS 算法是 隨機(jī)梯度算法族中的一員 ， 其顯著特點(diǎn)是它的簡(jiǎn)單性， 這算法不需要計(jì)算 有關(guān) 的相關(guān)函數(shù)，也不需要進(jìn)行矩陣 求逆 運(yùn)算。 所以 FIR 數(shù)字濾波器的突出 特點(diǎn)是穩(wěn)定性還有現(xiàn)行相位的特性 。迭代算法 能回避運(yùn)算量很大的 1?R 和 P 的 計(jì) 算，又能 即時(shí) 求得近似解， 所以具有可行性 。 LMS算法 目的 是 利用對(duì) 系數(shù) 的 調(diào)整 ， 讓 )(en 的值 最小，并 據(jù)此來(lái) 修改權(quán)系數(shù)， LMS 算法 由此得名 。 自適應(yīng) FIR數(shù)字 濾波器因 ),( qnA 是 個(gè) 嚴(yán)格 意義上 的全零點(diǎn)模型 ，而 方程誤差自適應(yīng) IIR 濾波器 將反向數(shù)字 濾波器 )],(1/[1 qnA? 級(jí)聯(lián)到 B(n,q)后 面 ， 就成為了 一個(gè)零點(diǎn)－極點(diǎn)模型 ，這是區(qū)別這兩者最主要的特征 。濾波器 的 誤差 )(ne 是按 照 均方誤差或 著 遞歸最小二乘準(zhǔn)則 來(lái) 使得 )(ne 最小化，從而 更改的 IIR 系數(shù) θ(n) 使 )(ny 與期望響應(yīng)無(wú)限接近。 所以 ， 為追 蹤 不斷改變的 信號(hào) 與 噪聲 ，自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)很有必要 。 對(duì)于 同一 個(gè) 系統(tǒng)函數(shù) H(z)， 不同的 運(yùn)算結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)的精確度 、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性 和 運(yùn)算速度等 眾多 重要性能 會(huì)產(chǎn)生一定的影響 。南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 第二章 自適應(yīng)濾波器的基礎(chǔ)理論 濾波器的基本概念 濾波器是一種用來(lái)消除干擾雜訊的器件，將輸入或輸出經(jīng)過(guò)過(guò)濾而得到純凈的交流電。自適應(yīng)濾波器 的 本身 擁有 一個(gè)重要的自適應(yīng)算法， 該 算法可以根據(jù)輸入 信號(hào) 、輸出 信號(hào) 及參 考 信號(hào) 遵循 一定準(zhǔn)則修改濾波 參數(shù) ， 使得其自身能夠有效地追蹤外界因素的改變 。 在此期間 ， 各式各樣 數(shù)字濾波器 應(yīng)運(yùn)而生 ， 其中 有 些數(shù)字濾波器 運(yùn)算誤差 小 ， 有些計(jì)算 速度 快 ，而有 些兩種特性都擁有 。 上至國(guó)民經(jīng)濟(jì)，下至生活日常，處處有其身影，由此可見(jiàn)其重要性。 (a)電容式加速度傳感器 電容式加速度傳感器是 當(dāng)質(zhì)量受加速度作用運(yùn)動(dòng)而改變質(zhì)量塊與固 定電極之間的間隙進(jìn)而使電容值變化 ，通過(guò)檢測(cè)電容變化量可以檢測(cè)加速度。 微加速度傳感器作為一種常用的重要慣性傳感器，在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣闊的應(yīng)用前景。參與同一工作的其他同志對(duì)本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在 論文中作了明確的說(shuō)明并表示了謝意。對(duì)于本人所涉及的微加速度傳感器是把加速度信號(hào)變?yōu)椴罘蛛娙菪盘?hào)，直接檢測(cè)加速度信號(hào)是不容易的，而檢測(cè)差分電容的大小相對(duì)比較容易。當(dāng) 需要測(cè)量 的 振動(dòng)頻率遠(yuǎn) 遠(yuǎn) 低于加速度計(jì)的 固定 頻率時(shí)，力的變化與被測(cè)加速度成正比。 課題研究現(xiàn)狀及發(fā)展趨勢(shì) 數(shù)字濾波器 的設(shè)計(jì)是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域內(nèi)的一個(gè)重大的進(jìn)展 。對(duì) 于 自適應(yīng)濾波算法的研究是當(dāng)今自適應(yīng)信號(hào)處理中最為活躍的研究課題之一。 研究?jī)?nèi)容及意義 微機(jī)械加速度傳感器作為一類重要的慣性器件，在各個(gè)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。我們可以 用框圖 表示研究濾波器的實(shí)現(xiàn)方法，這樣更加直觀。關(guān)于 自適應(yīng)濾波器 它的首要 特點(diǎn) 是 它 可以 在 完全 不了解 的 外界 中有效 的進(jìn)行 濾波 ，能追蹤 輸入信號(hào)的 不斷更新變化的特點(diǎn) 。且一旦外界輸入信號(hào)改變時(shí)， 濾波器能自動(dòng)追蹤信號(hào)的變化，并根據(jù)算法調(diào)整權(quán)系數(shù)，使濾波再次回到最近濾波狀態(tài)，從而使得自適應(yīng)這個(gè)過(guò)程得到實(shí)現(xiàn)。 通過(guò) 延遲算子， 表達(dá)式 ()可用更簡(jiǎn) 便的方式來(lái)表達(dá)， 式中，多項(xiàng)式表示時(shí)變?yōu)V波器 ： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?nxqnBndqnAny e , ?? () 且有： ? ? ? ?????? 11,Nmmm qnaqnA ， 1,1 ?? Nm ? () ? ? ? ?????? 10,Mmmm qnbqnB ， 1,1,0 ?? Mm ? () 這里， 不能忽略 的是 )q,n(A 中 是 從 下界 m=1 開(kāi)始 進(jìn)行求和的 ，因此 )q,n(A )n(d 只依靠)n(d 的延遲樣本， 且 在任何瞬 間時(shí)態(tài) 發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)濾波器 )q,n(A 的零點(diǎn) 該形式的表達(dá)方法都可以應(yīng)用 。 根據(jù) 延遲級(jí)數(shù)所決定的有限個(gè)存儲(chǔ)單元， 可將這種結(jié)構(gòu)歸為 有限沖激響應(yīng) 濾波器 或橫向?yàn)V波器。 它符合式 (2.14) 0)( *)( ?? ? ?WnWnW ? 即： 0* ??PRW () 上式為 線性方程組 ，假如 矩陣 R 為滿秩 ， 1?R 存在， 就可獲得濾波器 權(quán)系數(shù)的最佳值 以 滿足PRW 1* ?? ， 可用如下矩陣表示 ： ???????????????????????????????????????????? ?? )1()1()0()0()2()1()2()0()1()1()1()0( 1*)1(*1*0NNNNNwwwxdxdxdxxxxxxxxxN ?????????????????????? () 很明顯，上式 ? ? ? ? ? ?? ?mnxnxEmx ??? 為 ??x 的自相關(guān)值， ? ? ? ? ? ?? ?kndnxERxd ??? 為 ??nx與 ??nd 互相關(guān)值。 ??n? 的 ??E 計(jì)算可用 如下表達(dá)式 ： ? ? ? ?? ? ? ? ? ?inXineKnXneE Ki ??? ???? 101 () 上式 K 的 取值 應(yīng) 滿足 需 要達(dá)到 的數(shù) 值 。 綜上所述 ， FIR 濾波器和 IR 濾波器都具有各自的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，但 FIR 數(shù)字濾波器很 容易獲得嚴(yán)格的線性相位特性，避免被處理信號(hào)產(chǎn)生相位失真，不會(huì)發(fā)生阻塞現(xiàn)象，能避免強(qiáng)信號(hào)淹沒(méi)弱信號(hào)，無(wú)穩(wěn)定性問(wèn)題。 顯然，自適應(yīng)濾波器 控制機(jī)理是用誤差序列 )(en 遵照 某種 規(guī)則 和算法對(duì) 自適應(yīng)濾波器 系數(shù) {wi(n)}， i=1， 2， … ， N 進(jìn)行 調(diào)整 的， 最后讓 自適應(yīng)濾波的目標(biāo)函數(shù) 變得 最小 ， 從而 達(dá)到最佳 的 濾波狀態(tài)。因此，梯度預(yù)測(cè)可以單一化表示為 : ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ?nxnenw nen ????? 22?? () 事實(shí)上 ，經(jīng)常 使用 2u 取代 u， w(n)是 自適應(yīng)濾波器在 n 時(shí)的濾波系數(shù)或權(quán)矢量 。 自適應(yīng) LMS 算法，利用時(shí)間 n=0 時(shí) 的濾波系數(shù)矢量為任意的 初 值 w(n)， 隨后進(jìn)行 計(jì)算，過(guò)程如下所示 : l)根據(jù) n 時(shí) 的濾波系數(shù)估值 w(n)，輸入信號(hào) x(n)及期望信號(hào) d(n)，計(jì)算誤差信號(hào) e(n): ? ? ? ? ? ?nyndne ?? () 2)通過(guò) 遞歸法計(jì)算 w(n)的更新估值。 ? 控制了算法穩(wěn)定性和自適應(yīng)速度，南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 如果 ? 很小，算法的自適應(yīng)速度會(huì)很慢；如果 ? 很大，算法會(huì)變得不穩(wěn)定 。盡管改進(jìn)后算法的原理不盡相同，但基本上都遵循該調(diào)整原則：即在收斂的初始階段或未知系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，步長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)較大一些，如此收斂速度將達(dá)到一個(gè)比較快的 程度；而在算法收斂后，為了使穩(wěn)態(tài)失調(diào)噪聲最小，不論主輸入端的干擾信號(hào)有多大調(diào)整 ? 都 應(yīng)該保持 較小 小的數(shù)值。而 LMS 算法的運(yùn)算量是在 N 數(shù)量級(jí)。式中， ? 為遺忘因子，通常取 0≤λ≤ 1。這相當(dāng)于，只有本時(shí)刻的結(jié)果被記憶下來(lái)，而將以前的各時(shí)刻的結(jié)果全部遺忘。 RLS 算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子 λ ，由于 λ 的出現(xiàn) ，使 RLS 算法能夠跟蹤 非平穩(wěn)信號(hào)。如果信道是非時(shí)變的，那么 λ 可以設(shè)為 1。其主要優(yōu)點(diǎn)就是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號(hào)的頻?? ???? Mi nVinxwnd 1 0 )()1()(南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 譜特性無(wú)關(guān)。 Simulink 結(jié)合了圖形用戶界面和交互仿真功能，以系統(tǒng)為中心，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的要求和指標(biāo)為目的，實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、測(cè)試及驗(yàn)證過(guò)程。 a=1。n39。 %誤差信號(hào) %用 LMS算法迭代濾波 for i=(k+1):N XN=xn((ik+1):(i))。)。 plot(t,bi,39。比較 三個(gè)圖 可以看出，采用自適應(yīng)濾波后的濾波輸出