【正文】 ............................... 26 本章總結(jié) ........................................................................................................ 26 結(jié)論 .............................................................................................................................. 28 參考文獻(xiàn) ...................................................................................................................... 29 1 第一章 緒 論 我第一次接觸壓縮映射原理是在張慶恭和林渠源老師所編寫的泛函分析的書上，當(dāng)時(shí)書中應(yīng)用壓縮映射原理瞬間證明出了常微分方程中當(dāng)時(shí)分五步證明的解的存在唯一性定理和數(shù)學(xué)分析中的隱函數(shù)存在定理，這使當(dāng)時(shí)的我感到非常吃驚，在常微分方程和數(shù)學(xué)分析書中對(duì)這兩個(gè)定理的證明中似乎看不到這兩個(gè)定理有什么聯(lián)系，但是一旦應(yīng)用上了壓縮映射原理，就找到了它們的共同點(diǎn)。主要內(nèi)容如下： 第一章，是緒論部分，首先講了我之所以寫這篇文章的原因，然后是本文所研究問題的歷史背景和發(fā)展情況。 第五章，引入概率度量空間的概念，和其中一系列與壓縮映射原理有關(guān)的概念，結(jié)合概率度量空間的一些特殊性質(zhì)，用前幾章的討論方法，在 概率度量空間上 討論壓縮映射原理，依次討論了含隨機(jī)數(shù)的壓縮映射原理，在概率度量空間上添加一些條件后的基本壓縮映射原理，非線性的壓縮映射原理及應(yīng)用 等 。 證明了壓縮映射原理后，下面的問題自然是推廣壓縮映射原理，也可以說是壓縮映射原理推論吧，就像數(shù)學(xué)分析中將洛爾定理推廣到拉格朗日定理，再將拉格朗日定理推廣到柯西定理那樣，在證明推廣的定理時(shí)，證明的方法和最開始的壓縮映射原理非常相似，至少在大的方向上是一樣的，根據(jù)具體的條件會(huì)有所差異。 1910 年， . . .LE J Brouwer證明了有限維空間中多面體上的連續(xù)映射至少有一個(gè) 不動(dòng)點(diǎn)，從而開啟了不動(dòng)點(diǎn)理論研究的先河。 在 這個(gè) 定理 的 證明中， . . .LE J Brouwer引進(jìn)了從一個(gè)復(fù)形到另一個(gè)復(fù)形的映射類，以及一個(gè)映射的映射度等概念 。 ??2 1962 年， Rakotch ，存在單調(diào)函數(shù) ? ? ? ? ? ?: 0, 0,1t? ??使得 ? ? ? ?? ? ? ?, , , ,d T x T y d x y d x y x y???。 ? ?10 1972 年， ..S K Chatterjea， 10 , , ,2h x y X??? ? ? ????? ，有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ?? ?, , ,h d x Ty d y Tx。 6 第二章 Banach 壓縮映射定理的證明思路探究 參考文獻(xiàn) [2]中記載有 Banach 壓縮映射定理 :設(shè) X 為完備的度量空間，:T X X? 且滿足 ? ? ? ?, , ,d Tx Ty kd x y? ? ?0,1k? ，則 T 在 X 內(nèi)有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。 （ 3） 證明 nx 的極限點(diǎn)是不動(dòng)點(diǎn) 。 設(shè) x? 滿足 limnn xx??? ?，下證 Tx x??? 。 證明 因?yàn)?X?? 是 ? ?0 0n nTx?? 的聚點(diǎn) ，所以 可以設(shè) 0lim iinn Tx ??? ? ，下面分三步證明， 11 第一步， 如果存在 ,k ??? 使得 100kkT x T x?? ， 因?yàn)?lim ii nn Tx ??? ?， 所以 10 0 0 0l im l im l im l imi i i ii i i in n k n k nkkn n n nT x T T x T T x T T x T???? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?。 所以 當(dāng) jnn? 時(shí)，有 ? ? ? ?00,n n nd T x d T x T??? ? ? ? ?? ?110 0 0m a x , , , , 0n n nd T x d T x T x???? 12 ? ? ? ?? ?2 1 20 0 0m a x , , ,n n nd T x d T x T x?? ? ?? ? ? ? ?? ?10 0 0m a x , , ,j j jn n nd T x d T x T x???? ??? ? ?。 注釋： 當(dāng) ? ? ? ?: 0, 0,f a a R??連續(xù)， 0a? ，而且函數(shù) f 關(guān)于 y 滿足 Lipschitz 條件，那么 ? ?,du f s uds ? 滿足初值條件 ? ?00u ? 在 ? ?0,a 上存在唯一解 。 本章總結(jié) 本章使舉例來說明壓縮映射原理在解微分方程上的應(yīng)用，將壓縮映射原理應(yīng)用到了微分方程這一外表下， 由于微分方程形式是多樣的，對(duì)于不同的形式要自己構(gòu)造映射，然后自己證明是壓縮映射， 之前的章節(jié)一直都是在證明別人構(gòu)造的映射，所以難度有所增加，對(duì)于不同的形式，構(gòu)造也不一樣，選取的范數(shù)也不一樣，因此不是那么容易了，現(xiàn)在好多科學(xué)家也在研究這一方面 的各種形式下的問題，我現(xiàn)在的水平連初窺門徑也還不夠。 首先證明一個(gè)引理：設(shè) ? ?,P?? 為完全測度空間， ? ?,Xd 為 Polish 空間，隨機(jī)算子 :f X X?? ? 滿足 ? ?f ? 在 ? 上幾乎處處為隨機(jī)壓縮算子，則 ? ?f ? 存在唯一的隨機(jī)不動(dòng)點(diǎn) 。 在國內(nèi)，西安交通大學(xué)已故的著名科學(xué)家游兆永教授首先開始研究這一領(lǐng)域，游教授在 1979 年發(fā)表了國內(nèi)第一篇研究 PM? 空間的學(xué)術(shù)論文，在這之后國內(nèi)的龔懷云，張石生，丁協(xié)平等教授也開始從事這個(gè)領(lǐng)域的研究，但是直到現(xiàn)在，這一理論下還是有很多問題有待研究。 注釋 1： 具體一點(diǎn)的說 ??,xyFt可以近似的理解為 ,xy之間的距離小于 t 的概率，這樣的 ??,xyFt顯然滿足 ?? ??14中要求 。 注釋： 在解決實(shí)際問題時(shí)要利用一些具體形式的 t? 范數(shù)，下面舉幾個(gè)常用的例子 。幾個(gè)重要的概念如下所示： ??1 :f E E? 被稱為壓縮映像，如果滿足對(duì)于 ,xy E??，? ? ? ? ? ? ? ?, x y k x k yf x f y xF x F F xk????????。 在一般的度量空間里不動(dòng)點(diǎn)可以有好多個(gè)，比如對(duì)于函數(shù) ? ?f x x? ，它定義域內(nèi)的所有的點(diǎn)都是不動(dòng)點(diǎn)，而由于在概率度量空間上受到現(xiàn)實(shí)問題的約束，因此概率度量空間下的壓縮映射不動(dòng)點(diǎn)就會(huì)有一些規(guī)律。 下面證明 x? 為 f 的不動(dòng)點(diǎn) ，因?yàn)? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1, , , , ,m m m mfx x fx x x x x x x xtF t F t F t F F tk? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ????????， 所以 ? ? ? ?1, , ,l i m ,mmfx x x x x xmtF t F F tk? ? ? ? ?????????? ????????。 任取 0xX? ，記 ? ?10nnnx T x T x n?? ? ??? ? ? ?，則 ? ?nxX? ，所以 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1 1 1 1 1, , , 1 , 2 , 3m in , ,n n n n n n n n n nx x T x T x x x x x x xF t F t F t F t F t? ? ?? ? ? ? ??? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1 1 1, , ,m in , ,n n n n n nx x x x x xF t F t F t? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ?11,m in ,n n n nx x x xF t F t????? 。 24 在之前的內(nèi)容里，列舉了好多個(gè) t? 范數(shù)的例子，從中任取一個(gè)來構(gòu)造一個(gè)壓縮映射原理，例如當(dāng) ? ? ? ?, m in ,a b a b?? 時(shí)， f 存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。 證明 23 從結(jié)論上看證明比較適合用反證法，因此設(shè) 12,xx為壓縮映射 f 的兩個(gè)不一樣的不動(dòng)點(diǎn) ， 則 ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2, , , ,x x fx fx x x fx fxttF t F t F Fkk? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 1 2 1 2,2x x x x nttFFkk? ? ? ?? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?， 所以 ? ?12, 1xxFt?，所以 ? ? ? ?12,xxF t H t?，所以 12xx? 。 ??3 設(shè) ? ? ,nx E x E??稱 nx 收斂到 x ，如果對(duì)于 ? ? ? ?, lim nxxnt R F t H t??? ? ?成立。 ? ?2 ,a b a b??。 證明 ， ?? ??13的證明都十分顯然，下面證明條件 ??4 ， 已知條件? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?, 1 1, 2 2,1,1xyxyF t H t d x yF t H t d z y? ? ?? ? ?， 所以 1? ? ? ? ?? ?, 1 2 1 2 ,xzF t t H t t d x z? ? ? ? ? ? ? ?? ?12,H t d x y t d y z? ? ? ? ? ?? ?2 ,1H t d y z? ? ? 注釋 3： 條件 ??4 可以推出 ? ? 1P?? 。 還是要先介紹幾個(gè)非?；A(chǔ)的概念 ，這些基本概念取自 參考文獻(xiàn) [9]中。 令 ? ? ? ? 00,x? ? ??????????， 其中 xX?? 是其中的一個(gè)固定值 ， 下面證明 ? ???為隨機(jī)元 ， 對(duì)于 0xX??，令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1, nnx f x x f x? ? ? ? ????， 則 ? ?nx? 為隨機(jī)元列，而且有 ? ? ? ?..lim aenn x ? ? ??? ?，所以 ? ???為隨機(jī)元 ，所以 ? ?f ? 在 ? 上存在唯一的隨機(jī)的不動(dòng)點(diǎn) ? ???。 ??2 稱 :xX?? 為 X 隨機(jī)元，如果 ? ?1,B x B?? ?? ??。 這樣就引入了非線性壓縮映射原理的相關(guān)理論，在非線性壓縮映射原理中有這樣的一個(gè)定理： 設(shè) ? ?,Xd 是完備的度量空間， ,:S T X X? 是連續(xù)的映射，并且? ?, , 0,1p q N h? ? ?使得 ? ? ? ?? ?, m a x , : 0 , 0 , ,p q r sd S x T y d S x T y r p s q x y X? ? ? ? ? ? ?，那么 ,ST在 X 上存在唯一不動(dòng)點(diǎn) 。 本章內(nèi)容是對(duì)第二章內(nèi)容的更深層次的推廣，但用到證明的核心思想和上一章是一樣的，通過對(duì)類似問題的研究使我明白看問題不能只看表面，不能被問題的外表嚇住，由此讓我對(duì)遞推法有了更加深刻地理解， 能夠熟練應(yīng)用遞推法的話確實(shí)可以解決許多看似十分困難的問題，而且不僅是在數(shù)學(xué)上，在應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題時(shí)，如果可以熟練應(yīng)用遞推法的話，也能夠盡可能化簡復(fù)雜的算法 。 因?yàn)?? ?0nTx?? ， 所以 in? ，使得 0lim iinn Tx ??? ? 。 通過上面的討論，總結(jié)出了一套證明壓縮映射原理的方法， 從證明的例子中也可以看出： 只要涉及到遞推問題的壓縮映射原理，都可以按照上述步驟，用類似方法進(jìn)行證明，雖然許多細(xì)節(jié)處不盡相同，但主要的套路是不變的。 交換 1nx? 與 nx 的位置可得另一不等式為 , 1 , 1 , 1 2 , 1 3 1 , 4 , 5 1 , 1n n n n n n n n n n n nd a d a d a d a d a d? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?， 兩個(gè)不等式相加得 , ? ? ? ?, 1 1 2 3 4 5 , 1 2 3 4 5 , 122n n n n n nd a a a a a d a a a a d? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 整理得 , ? ?1 2 3 4 5, 1 , 1 , 1234522n n n n n na a a a ad d da a a a? ? ?? ? ? ???? ? ? ?， 即 ,1nnd? 單調(diào)遞減 。 因?yàn)?X 為完備的度量空間， 所以 存在 x? 滿足 limnn xx??? ?， 所以 1nnTx x Tx x???? ? ?。 ? ?12 1973 年， .SMassa ， Zamflrescu ， ? ?0,1,h?? 對(duì)于任意 ,xy X? 有 ? ?,d TxTy ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?11m a x , ,