【正文】 lton C ayley? 定理 ） 設 A 是 復數域 C 上任意 n 階方陣 , A 的特征多項式為 () IA? ? ???||,則 ( ) 0A? ? ,其中 I 為 n 階單位矩陣 . 畢業(yè)論文 第 14 頁 共 27 頁 證明 ：存在秩為 n 的 n 階 復 方陣 P ,使 1P AP J? ? ,其中 J 是 A 的 Jordan標準型 ,可以寫成 12nJ??????????????, 其中 ? 代表 1 或 0,因為 12, , , n? ? ? 是 A 的 特征值 ,故 12( ) = nIA? ? ? ? ? ? ? ? ???| | ( ) ( ) ( ). 從而 12( ) nA A I A I A I? ? ? ?= ( )( ) ( ) 1 1 1 11 2 1 2 ( nnP J P I P J P I P J P I P J I J I J I P? ? ? ? ? ?? ? ? ?= ( ) ( ) ( ) = ) ( ) ( ) 12 121 2 112000nnnnPP?? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ??? ? ? ?= 12 10 0 00 0 00nn??? ? ????? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?= = = 0 利用 H am ilton C ayley? 定理 可 以簡化矩陣計算 . 其實 ,該定理換成線性變換語言 為： 定理 14[5] （關于線性變換的 H am ilton C ayley? 定理） 設 V 為 n 維復線性空間 , :T V V? 為給定的線性變換 ,設 12m? ? ?， ， 為 T 的特征值 . 1( ) ( ( )Tmf ? ? ? ? ?? ? ?) 為 T 的特征多項式 .令 g()T 表示將 ()Tf ? 中的 ? 用 T 代替 , k? 用 kI? 代替之后所得到的常系數變換 ,即 畢業(yè)論文 第 15 頁 共 27 頁 1g( ) ( ( mT T I T I??? ? ?） ）, 則 g()T 是零算子 ,即 g()T 將 V 中每一個向量都映為零向量 ： g( )( ) 0,T x x V? ? ?. 注意 每 個特征值 k? 都滿足多項式方程 ( ) 0Tf ? ? , H am ilton C ayley?定理則是說 T 滿足方程 ( ) 0TfT? . 4． 2 Jordan 標準型 在 矩陣分解 中的應用 定理 15 復數域 C 上任意 n 階方陣 ,都等于兩個對稱矩陣的乘積 ,并且其中之一是的 非退化的 . 證明 ： 設 A 的 Jordan 標準型 為 12SJJJJ????????? 則存在 P , 使 1PAP J? ? 令 111iQ????? ????, iQ 與 iJ 階數相同 . 令 12S?????????, 則有 畢業(yè)論文 第 16 頁 共 27 頁 39。 39。 39。C P Q P A P Q P A P P P Q P A P P P Q J P??? ? ? ? 39。 39。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程字書寫，不準用徒手畫 3）畢業(yè)論文須用 A4 單面打印，論文 50 頁以上的雙面打印 4）圖表應繪制于無格子的頁面上 5）軟件工程類課題應有程序清單，并提供電子文檔 1）設計（論文） 畢業(yè)論文 第 27 頁 共 27 頁 2）附件：按照任務書、開題報告、外文譯文、譯文原文（復印件）次序裝訂 3）其它 。 作者簽名： 日期： 年 月 日 學位論文版權使用授權書 本學位論文作者完全了解學校有關保留、使用學位論文的規(guī)定，同意學校保留并向國家有關部門或機構送 交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。 Tele Press,2020 [6] 王卿文 ,線性代數核心思想及應用 [M],北京 ,科學出版社 ,2020 Jordan Canonical Form and Diagonalization of Matrix Author: Xu Zhucheng Supervisor: Wan Jinlong Abstract This paper basing on the properties of ? matrix and diagonalization as the main line,deduces the most profound conclusion of Linear Algebra Jordan canonical form theorem. Then,it uses the Jordan canonical form theorem to solve the problems of the proof of HCaylay Theory, the matrix deposition, linear differential equations and so on. Keywords diagonalization of matrix ? matrix Smith canonical form Jordan canonical form HamiltonCaylay Theory 畢業(yè)論文 第 22 頁 共 27 頁 畢業(yè)設計（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設計（論文），是我個人在指導教師的指導下進行的研究工作及取得的成果。 39。 39。 39。畢業(yè)論文 第 1 頁 共 27 頁 Jordan 標準型 與矩陣可對角化 摘要 本文以 ? 矩陣 的性質為基礎 ,對角化問題為主線 ， 推導出線性代數中最深刻的結論 —— Jordan 標準型定理 .然后 ,應用 Jordan 標準型定理去解決 HamiltonCayley定理的證明 ,矩陣分解 ,線性 微分方程組 求解 的問題 . 關鍵詞 矩陣對 角化 ? 矩陣 Smith 標準型 Jordan標準型 HamiltonCayley定理 1 引言 n 階矩陣 A 與對角陣相似的充要條件是 A 有 n 個線性無關的特征向量 .那么 當只有 mm n?()個線性無關的特征向量時 ,A 與對角陣是不相似的 .對這種情況 ,我們“退而求其次” ,尋找“幾乎對角的 ”矩陣 來與 A 相似 .這就引出了矩陣在相似下的各種標準型問題 . Jordan 標準型是最接近對角的矩陣并且其 有關 的理論包含 先前 有關與對角陣相似的理論作為特例 .此外 , Jordan 標準型 的廣泛應用涉及到HamiltonCayley 定理的證明 ,矩陣分解 ,線性微分方程組的求解等等 . 2 ? 矩陣 由于 Jordan 標準型的求解與特征多項式有關 ,而從函數的角度看 ,特征多項式實際上是特殊的函數矩陣（元素是函數的矩陣） ,這就 引出對 ? 矩陣 的研究 . ? 矩陣 及其標準型 定義 1 稱矩陣 ( ) ( ( ))ijAf??? 為 ? 矩陣 ,其中元 素 ( ) ( 1 , 2 , , 。 1 1 39。 39。 39。()P