jordan標(biāo)準(zhǔn)型與矩陣可對(duì)角化(畢業(yè)論文)-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 對(duì)角化定理 ) n 階 矩陣 A 可對(duì)角化的充分必要條件是 A 有 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 . 事實(shí)上 , 1A PDP?? ,D 為對(duì)角陣的充分必要條件是 P 的列向量是 A 的 n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 .此時(shí) ,D 的對(duì)角線上的元素分別是 A 的對(duì)應(yīng)于 P 中的特征向量的特征值 . 換句話(huà)說(shuō) ,A 可對(duì)角化的充分必要條件是 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的 特征向量形成n 的基 ,我們稱(chēng)這樣的向量為特征向量基 . 證 首先看到 ,若 P 是列為 12, , , n? ? ? 的任一 n 階矩陣 ,D 是對(duì)角線元素為 12, , , n? ? ? 的對(duì)角陣 ,那么 ? ? ? ?1 2 1 2, , , , , ,nnA P A A A A? ? ? ? ? ??? （ 1） 而 畢業(yè)論文 第 10 頁(yè) 共 27 頁(yè) ? ?121 1 2 2, , , nnnAP D P?? ? ? ? ? ? ???????????? （ 2） 現(xiàn)在假設(shè) A 可對(duì)角化且 1A PDP?? ,用 P 右乘等式兩邊 ,則有 AP PD? .此時(shí)由 （ 1）和（ 2）得 ? ? ? ?1 2 1 1 2 2, , , , , ,n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 3） 由列相等 ,有 1 1 1 2 2 2= , = , , =n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 4） 因?yàn)?P 可逆 ,故 P 的列 12, , , n? ? ? 必定線性無(wú)關(guān) .同樣 ,因?yàn)檫@些 12, , , n? ? ?非零 ,（ 4）表示 12, , , n? ? ? 是特征值 , 12, , , n? ? ? 是相應(yīng)的特征向量 .這就證明了定理中第一 ,第二和隨后的第三個(gè)命題的必要性 . 最后 ， 給定任意 n 個(gè)特征向量 12, , , n? ? ? ， 用它們作為矩陣 P 的列 ,并用相應(yīng)的特征值來(lái)構(gòu)造矩陣 D ,由 （ 1） ~（ 3） ,等式 AP PD? 成立而不需要特征向量有任何條件 .若特征向量是線性無(wú)關(guān)的，則 P 是可逆的 ,由 AP PD? 可推出 1A PDP?? .證畢 . 例 題 4 可能的話(huà) ,將下面的矩陣 A 對(duì)角化 ： 2 4 34633 3 1A????? ? ? ??? 解 由 A 的特征多項(xiàng)式 ： 3 2 20 de t ( ) 4 ( 1 ) ( 2)AI ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 得特征值是 1?? 和 2?? .但當(dāng)我們找特征向量時(shí) 對(duì)于 1?? 的特征向量： 1111????????????? 畢業(yè)論文 第 11 頁(yè) 共 27 頁(yè) 對(duì)于 2?? 的特征向量 ： 2110????????????? 沒(méi)有有其他特征向量了 ,A 的每個(gè)特征向量都是 1? 或 2? 的倍數(shù) ,因此不能利用A 的特征向量構(gòu)造出 3 的基 .由定理 ,A 不能對(duì)角化 . 3． 2 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 與對(duì)角化的關(guān)系 定義 8 形如 1212()()()knnnkJJJJ??????????,（ 12+ + =kn n n n? ） 的 塊對(duì)角陣為 Jordan 型矩陣 ,并稱(chēng)方陣 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i k???? ??????????? 為 in 階 Jordan 塊 . 注意 當(dāng) ()iniJ ?都是一階 Jordan 塊時(shí) ,即 ? ? ? ? ? ?121 1 2 2( ) , ( ) , , ( )kn n n k kJ J J? ? ? ? ? ?? ? ?, 有 J 為對(duì)角陣 ,由此看出 對(duì)角陣 其實(shí) 只是 Jordan 陣的特例 . 性質(zhì) 1 矩陣 J 可對(duì)角化 ,當(dāng)且僅當(dāng) kn? . 性質(zhì) 2 Jordan塊的個(gè)數(shù) k （相同的子塊計(jì)重復(fù)出現(xiàn)的次數(shù)）是 J 的 .線性無(wú)關(guān)特征值向量的個(gè)數(shù) . 定理 9 兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們的特征矩陣等價(jià) . 定義 9 稱(chēng) n 階數(shù)字矩陣 A 的特征矩陣 EA? ? 的行列式因子、不變因子和初等因子為矩陣 A 的行列式因子、不變因子和初等因子 . 定理 10 兩 個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的行列式因子（或不變因子） . 畢業(yè)論文 第 12 頁(yè) 共 27 頁(yè) 定理 11 復(fù)數(shù)域上兩個(gè)數(shù)字方陣相似的充要條件是它們有相同的初等因子 . 注意 其實(shí) ,結(jié)合上定理 ,不難發(fā)現(xiàn) 初等因子 ? ?ma?? 與 m 階 Jordan 塊 mm11aaa ????????? 存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 .因此可利用特征矩陣的初等因子求矩陣的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 ,即有如下定理： 定理 12(Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 定理 ) 復(fù)數(shù)域上任何一個(gè)數(shù)字方陣 A 都與一個(gè)Jordan 型矩陣相似 ,這個(gè) Jordan 型矩陣除去其中 Jordan 塊排序外是被 A 唯一確定的 ,稱(chēng)它為 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 . 證明 : 設(shè) n 階復(fù)矩陣 A 的初等因子為 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss? ? ? ? ? ?? ? ? 其中 12, , , s? ? ? 可能有相同的 ,指數(shù) 12 smm m 也可能有相同的 .每一個(gè)初等因子 m()ii??? 對(duì)應(yīng)于一 個(gè) Jordan 塊 , 1( ) , ( 1 , 2 , , )1iiiiinii nnJ i s???? ???????????. 這些 Jordan 塊構(gòu)成一個(gè) Jordan 型矩陣 , 12sJJJJ????????? 易知 , J 的初等因子就是 12 mmm12( ) , ( ) , , ( ) ss? ? ? ? ? ?? ? ?. .由于 J 與 A 有相同的初等因子 ,所以它們相似 . 假設(shè)有另一個(gè) Jordan 型矩陣 K 與 A 相似，那么與 A 有相同的初等因子，因此， K 與 J 除了其中 Jordan 塊排序外是相同的，唯一性得證 .證畢 . 畢業(yè)論文 第 13 頁(yè) 共 27 頁(yè) 例 題 5 （ 1） 在 例 中 求出的 B?()的初等因子的基礎(chǔ)上 ,求出 B 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 . （ 2） 求出例 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 . 解 （ 1） 由于 B?()的初等因子為 : ? ? ? ?33,a b a b??? ? ? ? 所以 B 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型為 1111abababababab?????????????? （ 2） 由 22 4 3 14 6 3 13 3 1 ( 1 ) ( 2)IA???? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? 知 A 的 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型為 1212????????. 4 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型的性質(zhì) 及 應(yīng)用 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)化 的應(yīng)用是廣泛的 ,下面 將利用其給出 H am ilton C ayley?定理的證明 ,并說(shuō)明其 在矩陣分解及在求解線性微分方程組中的應(yīng)用 . 4． 1 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 在證明 H am ilton C ayley? 定理中的應(yīng)用 定理 [4]13 （ H am i
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