【正文】 18 圖 12 為了利于精避障階段找到一個合適的著陸區(qū)域 ， 利用搜索算法 尋找一個安全著陸面積比率大于 85%、面積最大的矩形區(qū)域如下圖所示。 其 推力、月球引力加速度和速度 的幾何關系如圖 14（其中虛線為加速階段，實線為減速階 段）： 圖 14 兩個階段的 下降高度及航程為： ?h4 = ???12????222??? , x = ????12?????222???? 加速階段，其加速度方程如下： ???’ = ????’cos??‘ ???,????’ = ????’sin??’ ， ???’ = ?????’ 。 自由落體 及制動 過程， ??4 = 2300 ? = ??， ??制 = ????4??? g = ，根據動量、能量守恒 定律 ，列出 方程 如下： {????41 = ??制 ??42??????4 = ?? ? (12??制 ??422) 解得 ??41 = ??， ??42 = ??。 21 圖 15 圖 16 對高程圖進行降噪處理后，將 100?? 100??的掃描區(qū)域劃分為以 5m 5m為單位的小區(qū)域進行計算 。 為了進一步節(jié)省燃料，還可以 采取 分類處理 措施 ：若著陸器與著陸點距離小于閾值，避障需要的水平位置機動較小， 避障 時間較短，則以較 大 速度 下降 ；若著陸器與著陸點距離大于閾值 , 避障時間較長， 則 以較小速度下降 。 23 其動量方程為 ?????????? = ???????? ? ∫?????? 即 ∫?? ?? = ??5g??? ?????????? 為 達到省燃料目的，應該在滿足安全性的基礎上，盡量縮短 其 過程 時間 t。由運動方程估得， 月球扁率對 遠日點、近日點坐標以及著陸器剩余質量產生的誤差影響 量級 ε(月球扁率 ) = O(10?3)。 快速調整段： 姿態(tài) 調整 發(fā)動機： 根據資料，該發(fā)動機的推力為 10N,個數為 16 個 [5]， 根據 β的變化情況， 姿態(tài)調整時間約為 1s 左右， 使 著陸器剩余質量減小 ， 對 控制策略ε(姿態(tài)調整發(fā)動機 ) = O(10?5)。 重力加速度： ε(重力加速度 ) = O(10?6)?？紤]到模擬退火算法具有一定的全局搜索能力，模型對于參數變化可以進行相應調整，具有較強的穩(wěn)定性。 27 八、 參考文獻 [1]吳孟達 成禮智 吳翊 ,數學建模教程 , 長沙，高等教育出版社， 2020 [2]Frank William ,A First Course in Mathematical Modeling，北京， 機械工業(yè)出版社， 2020 [3]劉林，月球衛(wèi)星軌道力學綜述， 天文學進展，第 21 卷第 4 期： 281288,2020 年 [4]張洪華，嫦娥三號自主避障軟著陸控制技術，中國科學，第 44 卷 第 6 期： 559568，2020 年 [5]張洪華，嫦娥三號著陸器動力下降的制導導航與控制，中國科學，第 44 卷第 4 期：377384,2020 年 [6]BongGyun Park,JongSun Ahn and MinJea Tahk, TwoDimensional Trajectory Optimization for Soft Lunar Landing Considering a Landing Site, Int’ I J. of Aeronautical amp。 在解決問題的過程中 ， 該模型仍具有一定的局限性 。 緩速下降階段： 重力加速度： ε(重力加速度 ) = O(10?7)。 此外， 龍格 庫塔算法 也會帶來一定的誤差，具體同上階段。估得其誤差量級 ε(地球引力 ) = O(10?3)。 設加速時間 ??61，減速時間 ??62， 其運動方程為 ： {?61 = 60??612??6?62 = 602 60 = ??6??62 其中 ?61， ?62為 30m~10m,10m~4m 距月表面距離， ??1， ??2為各階段所用時間， ??6為第二階段加速度。 當 距離 小于閾值時，其避障時間 ??5=， 豎直速度 5?=3m/s；當 距離 大于閾值時，其避障時間 ??5=，豎直速度 5?=。 軌跡 控制： 圖 17 22 該階段水平位移較小，用水平姿態(tài)調整發(fā)動機足以實現，故保持主發(fā)動機推力方向豎直。 到達著陸區(qū)域后，著陸器速度迅速減為 0，進入懸停 狀態(tài)，為下一階段作準備 。 考慮到區(qū)域邊界為 50 50m，拍照間隔時間為 1s，為了保證區(qū)域連續(xù)性 ，該階段 20 最大飛行速度 4?????? ≤ 251 = 25??/?? 。 . 軌跡控制： 圖 13 19 為了保證在接近段成像敏感器視場能夠觀測到著陸區(qū) , 經查嫦娥三號采用下降軌跡接近與水平面夾角 45176。由于在粗避障階段內高程圖的精度限制，著陸器無法檢測小障礙物，此階段的主要目標是選擇一個坡度較小的區(qū)域進行降落。 此時的動力學方程轉化為 ： { 3?? ?? = ? ????3???????? ? ????2 + 3??2?? 3?? ?? =????3 ???????? ? 3?? 3????dr ?? = ??d??3 ?? = ??? ?? = ??0 ? 210 ???? = arctan( 3?? 3??) 其中 t 為飛行時間。其中 *??0,??1,….????+ 為 [???,?12 ??]上的遞增序列 。 因此 ， 微分方程 的約束條件可以由以下方程表示： { ?? ≤ 20??/??50??/?? ≤ θ ≤ 100??/??rf = 1740km 圖 3 11 優(yōu)化 變量為 著陸器的燃料消耗 Δ?? = ??20 ???2?? 控制變量為 ： { ??(??):著陸器的推進力β(??):著陸器的推進角度 根據以上條件 ， 在初值 、控制量已知的條件下利用四階龍格 庫塔方法可以在計算機上求出微分方程的數值解，即著陸器在下降過程中 ??, ??,??,??隨時間變化的曲線。 該階段的著陸軌道見第一問。霍曼變軌是一 該階段由遠月點變軌至近月點。 根據開普勒三大定律，可以推導得橢圓軌道周期公式： T = 2π√??3?? 而由遠月點到近月點，正好為橢圓軌道的一半，算得其時間 t=（ 2k+1）T/2=(2k+1)6822s，其中 k 為沿橢圓軌