月球探測器登月著陸軌道優(yōu)化設(shè)計數(shù)模國賽論文-文庫吧
2025-07-24 11:05 本頁面
【正文】 0 ?? 其中，取萬有引力常數(shù) G= 10?11?? ???2 ??????2,嫦娥三號在 100km 環(huán)月圓軌道上的飛行重量 m = 103????,月球質(zhì)量 M = 1022????，環(huán)月圓軌道高度 r環(huán) =105??, 月球平均半徑 ?? = 106??， 地球質(zhì)量 M地 = 1024????，地球與嫦娥三號距離取月地平均距離 r地 = 108??， 太陽質(zhì)量 M日 = 1030????，太陽與嫦娥三號距離取日地平均距離 r地 = 1011??。 隨著軌道高度的降低，月球引力逐漸增大，而其他引力基本不變?？梢???月 ???地 、 ??日 ，因此只需考慮 月球?qū)ζ涞娜f有引力影響，地球、太陽等其他天體可以忽略不計。 現(xiàn)在考慮月球扁率對其影響，月球的赤道半徑 ??赤 = ????，極區(qū)半徑??極 = ????，而著陸點位于 北緯 。 ，半徑介于 二者之間。若把極區(qū)半徑當成赤道半徑計算，其誤差影響 (η)為： η =??極 ???赤??赤 = (??赤 2??極 2 ?1) 100% 代入數(shù)據(jù)，算出值為 %，而實際上扁率影響還要 遠 小于該值，因此扁率影響 7 可以忽略不計，把月球看作一個球體，取月球的實際平均半徑 ?? = ????。 現(xiàn)在考慮著陸點與近月點的經(jīng)緯度關(guān)系。 如圖 1， 以月心為極點建立如圖所示球極坐標系，則著陸點的經(jīng)緯度可以表示為（ ?， θ）。其中， ? = 。 ， θ = 。 。當著陸點在水平方向改變 1km 時，其精度改變?yōu)椋? Δ? = 12????cos?? = 。 當著陸點在 豎直 方向改變 1km 時，其精度改變?yōu)椋? Δθ = 12???? = 。 因此后面階段對經(jīng)緯度影響可以忽略不計，可以把著陸點經(jīng)緯度等價于近月點經(jīng)緯度。 在此球極坐標系中，近月點坐標為（ 1752km, 。 , 。 ）。 如圖 2， 根據(jù)萬有引力定律 提供向心力 ??????2 = m? 2?? 推得嫦娥三號在 100km 環(huán)月圓軌道上的飛行速度為 環(huán) = √ ??R +??遠 其中，月球引力常數(shù) μ = GM = 1012?? ???2 ??????1，代入數(shù)據(jù) 環(huán) = 103??/?? 在橢圓軌道運動過程中， 嫦娥三號 總 機械能 守恒 ，且 在軌道上運動的 機械能 E 等于其動能和勢能之和 ，同時根據(jù)開普勒第三定律，列出方程如下： 圖 2 圖 1 8 { 近 遠=R +??遠R +??近???? = 12?? 近 2 ? ????R+ ??近???? = 12?? 遠 2 ? ????R +??遠???? = ???? 解得： 近 = 103??/??， 遠 = 103??/?? ，方向為該點所在的橢圓軌道切線方向。 不考慮月球自轉(zhuǎn)情況，因為遠月點與近月點的經(jīng)緯度關(guān)于月心對稱，故遠月點坐標為（ 100km, 。 ,? 。 ）?，F(xiàn)考慮 月球自轉(zhuǎn) 對經(jīng)度的影響 。 根據(jù)開普勒三大定律，可以推導(dǎo)得橢圓軌道周期公式： T = 2π√??3?? 而由遠月點到近月點，正好為橢圓軌道的一半，算得其時間 t=（ 2k+1）T/2=(2k+1)6822s，其中 k 為沿橢圓軌道繞月旋轉(zhuǎn)圈數(shù) 。其值由著陸器具體繞月情況即可確定。 月球自轉(zhuǎn)周期 T轉(zhuǎn) = 日 = 106??。因此 自轉(zhuǎn) 對經(jīng)度帶來的影響 ?? = (2k +1) 106 360。 = (2k +1) 。 修正后的遠月點坐標為 （ 100km, (?)。 ,? 。 ） 9 2. 6 個階段的 著陸軌道及 最優(yōu)控制策略 1) 著陸準備軌道 其最優(yōu)變軌策略為 霍曼變軌方法 。霍曼變軌是一 該階段由遠月點變軌至近月點。 種空間常用變軌方法，途中只需分別在遠月點和近月點進行減速，相對地節(jié)省燃料。具體操作如下： 根據(jù)比沖公式 thrust eF v m? ， 可以得到每一階段消耗的燃料質(zhì)量 Δm = ∫?? ?? 其中， t 為該階段所用時間。 由于 是定值 ， 因此只要推力產(chǎn)生的沖量越小，其燃料消耗也就越小 。而該階段動量及質(zhì)量公式為 { ??10 10 ? ??1?? 1?? = ∫?? ????10 ???1?? = ∫?? ?? 其中， 10 = 環(huán) ， 1?? = ??。 把 ∫?? ??看作一個整體， 根據(jù)二元一次方程組解的唯一性，得到無論 F 取何值， ∫?? ??都為一定值。因此， 基于 減小月球引力對變軌的影響這一因素考慮， 這里推力取最大值F=7500N。 解得 ??1?? = 103????。 該階段的著陸軌道見第一問。 2) 主減速段 ： 該階段 的區(qū)間是 從海拔 15km 到距離月面 3km。該階段 主要目的 是減速，實現(xiàn) 到 距離月面 3 公里處嫦娥三號的速度 小于 100m/s。 該 過程 可以化為最優(yōu)控制問題 ， 由直接法進 10 行求解 。 考慮到 著陸點海拔為 2640m，為便于下面的計算， 建立著陸器距月面高度 h 同著陸器距月心距離 r 之間的轉(zhuǎn)換公式： h = r ?R + 2640 將建模過程分為如下兩階段： 動力學(xué)方程： 為分析著陸器的下降過程， 建立極坐標系，以月球球心為原點，著陸器距離原點的距離（月心距）為 r，角度為 θ。則著陸器的速度可以沿徑向和切向正交分解為徑向速度 ??和切向速度 ??（如圖 3 所示）。 考慮到在短時間內(nèi)月球自轉(zhuǎn)角速度 ??的影響較小 ， 可以忽略不計 。則著陸器在下降過程中在推進力、月球引力和自轉(zhuǎn)向心力的影響下運動的動力學(xué)方程可以表示為： { ?? ?? = ? ????2???????? ? ????2 + ??2?? θ ?? =????2 ???????? ? ?? ????dr ?? = ?? ??2 ?? = ??? 初始條件為： { ?? = 0??/?? θ = 1692??/??r0 = 1752kmm20 = 2367kg 在著陸器的下降階段 ， 著陸器距離月面的高度由 15km 降至 3km，同時為了滿足粗定位階段的速度要求，著陸器的切向速度應(yīng)保持在 50m/s 以上，徑向速度不超過 20m/s。 因此 ， 微分方程 的約束條件可以由以下方程表示： { ?? ≤ 20??/??50??/?? ≤ θ ≤ 100??/??rf = 1740km 圖 3 11 優(yōu)化 變量為 著陸器的燃料消耗 Δ?? = ??20 ???2?? 控制變量為 ： { ??(??):著陸器的推進力β(??):著陸器的推進角度 根據(jù)以上
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