大學(xué)數(shù)學(xué)b試題庫(完整版)
【正文】 6 40. 證明方程 ?????? ?????? 220s i n1 ,xx 在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)根 . 證明 函數(shù) xxxf sin1)( ??? 在閉區(qū)間 ??????? 2,2 ??上連續(xù)， （ 1 分） 又 022)2( ??? ??f 0121)2( ????? ??f （ 5 分） 根據(jù)零點(diǎn)定理， 在開區(qū)間 ??????? 2,2 ??內(nèi)至少有 一點(diǎn) ? ， 使得 0)( ??f ， 即 xxxf sin1)( ??? 在區(qū)間 ??????? 2,2 ??內(nèi)有一個(gè)根。 答案： 2； 24. ???? xxx 21sin3lim ． 答案： 23 。 17. 函數(shù) 22 143xy xx?? ??的可去間斷點(diǎn)為 1x? 18. 若當(dāng) 0?x 時(shí)， )(x? 是與 2x 同階的 無窮 小量，則 ?? 20)(tanlim x xxx ? 0 19. 設(shè) 1)( 2 ??ttf ，則 ?? )1( 2tf ． 答案： 1)1( 22 ??t 。 解：分）（分）（74)s i n1(l i m)s i n1(l i m2s ins in1010exxxxxxxx??????? 37. 求極限 xx x10 )21(lim ??。 45. 已知 2)1(39。 51. 設(shè) xya? , 則 (3)y = 3)(lnaax 52. 已知 1 sin 02x y y? ? ?，則 dydx? 。 解： 39。 （ 1 分） 又 )1(2)1( 39。39。 （ 5 分） 所以 dxxy yxdy ???? 22 （ 7 分） 80. 已知 )0(sin ?? xxy x ，求 y? 解：對等式兩邊取對數(shù)得， 分）（分）（分）（7)s i nln( c o s5s i nlnc o s3lns i nlns in39。 xxxyy x ???? （ 3 分） 83. 求由參數(shù)方程2sin2cosxtyt??? ??確定的函數(shù) )(xyy? 的 導(dǎo)數(shù)xydd 解： 2sincos 2ttydy t tdx x t? ????……… 6’ 84. 已知 221txyt? ???? ???，求 22dydx 解 1 ： 22dydx=31t 解 2 ： yt ??1 2 )1( 2yx ?? （ 2 分） ydxdy ??? 1 1 （ 2 分） 322)1( 1ydx yd ??? （ 3 分） 85. 求參數(shù)方程??????ttey ex 23所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù) 22dydx 解 : 23232 edtedtedtdxdtdydxdytt????? ? （ 4 分） tttt edtedtedtdxedtddxyd 32222943341)32( ??????? ? （ 7 分） 第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 13 86. 函數(shù) xxf sinln)( ? 在區(qū)間 ?????? 65,6 ??上滿足羅爾定理的 ?? ?? 2? 87. 011lim( )1xx xe? ? ?= 答案： 1/2 。 證明： ( ) 4 l n [ 1 e ] ( ) ( 1 ) 0 。 108. 求曲線 222 7 2( 1)xxy x??? ?的單調(diào)區(qū)間，凹凸區(qū)間，拐點(diǎn)和極值點(diǎn) （ 8分） 解 : x ( , 1)??? ( 1,1)? 1 (1,2) 2 (2, )?? ()fx? ? + 0 ? ? ? ()fx?? ? ? ? ? 0 ? ()fx ,凸 ，凸 極 大值點(diǎn) 11(1, )4 ，凸 拐點(diǎn)8（ 2,）3 ，凹 單調(diào)增區(qū)間 ( 1,1)? ,單調(diào)減區(qū)間 ( , 1)??? ， (1,2) ， (2, )?? 凹凸區(qū)間 (2, )?? ， 凹凸區(qū)間 ( , 1)??? ， ( 1,1)? ， (1,2) ， 109. 求函數(shù) 32( ) 1f x x x x? ? ? ?的單調(diào)區(qū)間、凹凸性、拐點(diǎn)與極值點(diǎn) （ 8 分） x 1( , )3??? 13? 11( , )33? 13 1( ,1)3 1 (1, )?? ()fx? ? 0 ? ? ? 0 ? ()fx?? ? ? ? 0 ? ? ? ()fx ,凸 極大值3227 ，凸 拐點(diǎn)1 16( , )3 27 ，凹 極小值0 ，凹 110. 求曲線 xexy ?? 2 凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)。 （ 8 分） 解：2123 12 9 , 0 1 , 3 。問要截去多大的正方形，盒子的容積最大？ （ 8 分） 解： 令要截去的正方形的邊長為 x，則盒子的容積 2( 2 ) 0 )2aV x a x x? ? ? ?（ ……… 3’ 2( 2 ) ( 6 ) , V( , (26V a x a xaax??? ? ???1令 =0 ， 得x 舍 去 ） 唯 一 的 駐 點(diǎn) ） ’……… 4’ 所以當(dāng)邊長為 a/6 時(shí)容積最大。 ( 1 ) 0 , ( 3 ) 0 ,y ( 1 ) 0 , y ( 3 ) 4y x x y x xy x y yyy??? ? ? ? ? ??? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?極 大 極 小令 得……… 8’ 113. 已知曲線 123 ??? bxaxy 以 (1,3)為極值點(diǎn)，試求 a 和 b 的值。x x xy x e x e y e x xy x x? ? ?? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?由 得 ……… 4’ 18 2 2 ) ( 2 2 , ) 。 解：111ln111limlim 47xxxxxxee???????（ 分 ）（ 分 ） 96. 0lim sinxxxeex??? 00l im l im 21x x x xxxe e e ex ??????? ? ?……… 6’
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