【正文】 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】第六屆，走美杯，決賽【解析】 甲、乙兩人相遇后如果甲繼續(xù)行走（分鐘）后可以返回山頂，如果乙不休息，那么這個時候乙應(yīng)該到達山腳，所以這個時候乙還需要分鐘到達山腳，也就是距離山腳還有（米），所以山頂?shù)缴侥_的距離為（米）。一列慢車上午9點以45千米／時的速度由甲城開往乙城，另一列快車上午9點30分以60千米／時的速度也由甲城開往乙城。提示：甲、乙的速度比為，相遇時甲走了全程的。因為李大爺出門時楊平已經(jīng)比平時多走了9（60＋40）＝900（米），所以楊平比平時早出門900247。（35+45）=6小時。（17+15）=1小時?！敬鸢浮?5分【例 49】 甲、乙兩地之間有一條公路．李明從甲地出發(fā)步行去乙地，同時張平從乙地出發(fā)騎摩托車去甲地，80分鐘后兩人在途中相遇．張平到達甲地后馬上折回往乙地，在第一次相遇后又經(jīng)過20分鐘在途中追上李明．張平到達乙地后又馬上折回往甲地，這樣一直下去．問：當(dāng)李明到達乙地時，張平共追上李明多少次？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 我們希望知道二人的速度，或至少是二人各自走完全程的時間，進而確定整個過程的進展，并得到答案．但知道這些并不夠．應(yīng)先分析什么是“追上”．如圖，當(dāng)兩人經(jīng)過80分鐘相遇時，兩人所走的路程之和恰是甲乙兩地指間的距離，因此兩人才能相遇．如圖所示：第一次追上就是張平比李明多走了一個甲、乙兩地距離．這用了分鐘．以此類推，第二次相遇的情況從圖上可以看出來，使張平比李明多走了3個甲、乙之間距離；第三次相遇，是張平比李明多走了5個甲乙之間距離……所以，知道了張平的速度是李明的幾倍，也就知道在李明走完一個甲乙之間距離的時候，張平走了幾個甲乙之間距離，他比李明多走了幾個．這樣就可求出當(dāng)李明到達乙地時，張平追上了他幾次．是兩人相遇地點，是張平第一次追上李明的地點．要分析如何求出兩人速度的倍數(shù)關(guān)系．在從相遇到第一次追上這20分鐘內(nèi)，張平從走到再走到，即．也就是，是李明相遇前的路程，即李明80分鐘走的；是李明第一次被追上時已走的路程，即他分鐘走的．因此，張平20分鐘走的路程，是李明分鐘走的，也就是說，張平的速度是李明的9倍．當(dāng)李明從甲到乙時，張平走了9個這樣的距離，即比李明多走了8個從甲到乙的距離．比李明多走1個時，張平第一次追上李明；多走3個時，第二次追上；多走5個時，第三次追上；多走7個時，第四次追上．綜上所述，在李明從甲到乙的過程中，一共被張平追上4次．【答案】追上4次【例 50】 （這道題就是之前介紹過的蘇步青教授利用巧妙方法解決過的一個問題，當(dāng)時蘇步青教授在德國訪問，一位有名的德國數(shù)學(xué)家在電車上給他出了這道題）甲和乙分別從東西兩地同時出發(fā)，相對而行，兩地相距里，甲每小時走里，乙每小時走里．如果甲帶一只狗，和甲同時出發(fā)，狗以每小時里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到甲乙兩人相遇時狗才停?。@只狗共跑了多少里路？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 只從狗本身考慮，光知道速度，無法確定跑的時間．但換個角度，狗在甲乙之間來回奔跑，狗從開始到停止跑的時間與甲乙二人相遇時間相同．由此便能求出答案．狗一共跑了（小時）所以狗跑的距離為（千米）注：有時我們遇到的應(yīng)用題往往無法用直接的方法列式解決，甚至看起來好像條件不足．這個時候我們就需要停下來問問自己：是否應(yīng)該換個角度思考？嘗試這樣思考，一方面能讓我們對一些原本無法解答的題目豁然開朗，更可以讓自己的頭腦在鍛煉中變得越來越聰明．【答案】千米【鞏固】 某邊防站甲、乙兩哨所相距 15千米。因此，甲、乙兩地的距離是(千米)．【答案】千米【鞏固】 蠟筆小新從家出發(fā)去超市找媽媽，小新媽媽從超市回家，他們同時出發(fā)，小新每分鐘走米，小新媽媽每分鐘走米，他們在離中點米的地方相遇了，求小新家到超市的距離是多少米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 路程差：(米)，速度差：(米／分鐘)，相遇所用的時間：(分鐘)，家到超市的距離：(米)．【答案】米【鞏固】 李明和王亮同時分別從兩地騎車相向而行，李明每小時行千米，王亮每小時行千米，兩人相遇時距全程中點千米．問全程長多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 李明走了全程的一半多千米，王亮走了全程的一半少千米，李明比王亮實際多走了(千米)．由已知李明每小時比王亮多走(千米)，李明比王亮多行千米需要(小時)，這就是兩人的相遇時間，有了相遇時間，全程是：(千米)．【答案】千米【鞏固】 樹葉和月亮同時分別從兩地騎車相向而行，樹葉每小時行千米，月亮每小時行千米，兩人相遇時距全程中點千米．問全程長多少千米？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 樹葉走了全程的一半多千米，月亮走了全程的一半少千米，樹葉比月亮實際多走了(千米)．已知樹葉每小時比月亮多走(千米)，那么樹葉比月亮多行千米需要(小時)，這就是兩人的相遇時間，有了相遇時間，全程就容易求了．全程：(千米)．【答案】千米【鞏固】 夏夏和冬冬同時從兩地相向而行，兩地相距1100米，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，問兩人在距兩地中點多遠處相遇？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 兩個人的相遇時間為：（分鐘），所以相遇時東東走了：（米），兩個人距離中點距離為：（米）【答案】米【例 38】 甲、乙兩人同時從兩地相向而行．甲每小時行千米，乙每小時行千米．兩人相遇時乙比甲少行千米．兩地相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 乙每小時比甲少行：(千米)，由題意知，“兩人相遇時乙比甲少行千米”，說明兩人行駛的時間為：(小時)，已知速度和與相遇時間，可求路程．兩地相距為：(千米)．【答案】千米【例 39】 小新和正南二人同時從學(xué)校和家出發(fā)，相向而行，小新騎車他的三輪車每分鐘行100米，5分鐘后小新已超過中點50米，這時二人還相距30米，正南每分鐘行多少米？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 5分鐘后小新比正南多走了（米），所以每分鐘多走：（米），所以正南每分鐘走：（米/分）【答案】米/分【例 40】 甲、乙兩列火車同時從東西兩鎮(zhèn)之間的地出發(fā)向東西兩鎮(zhèn)反向而行，它們分別到達東西兩鎮(zhèn)后，再以同樣的速度返回，已知甲每小時行60千米，乙每小時行70千米，相遇時甲比乙少行120千米，東西兩鎮(zhèn)之間的路程是多少千米？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 建議教師幫助學(xué)生畫圖分析．從出發(fā)到甲、乙兩列火車相遇，兩列火車共同行駛了2個全程．已知甲比乙少行120千米，甲每小時比乙少行(千米)，(小時)，說明相遇時，兩輛車共同行駛了12小時．那么兩輛車共同行駛1個全程需要6小時，東西兩鎮(zhèn)之間的路程是(千米)．【答案】千米【例 41】 甲、乙二人從，兩地同時出發(fā)相向而行，甲每分鐘行80米，乙每分鐘行70米，出發(fā)一段時間后，二人在距中點60米處相遇．如果甲晚出發(fā)一會兒，那么二人在距中點220米處相遇．甲晚出發(fā)了多少分鐘？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 同時出發(fā)，相遇時甲多走(米)，相遇時間為(分)，因此甲、乙兩地距離為(米)．當(dāng)甲晚出發(fā)一會兒時，兩人各用時間分別為乙用時：(分)，甲用時：(分)， 所以甲比乙晚出發(fā)(分)．【答案】分鐘【例 42】 甲、乙二人同時從學(xué)校出發(fā)到少年宮去，已知學(xué)校到少年宮的距離是2400米．甲到少年宮后立即返回學(xué)校，在距離少年宮300米處遇到乙，此時他們離開學(xué)校已經(jīng)30分鐘．問：甲、乙每分鐘各走多少米？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 根據(jù)題意，畫線段圖如下：方法一：30分鐘內(nèi)，二人的路程和(米)，因此速度和為：(米/分)；又知道30分鐘甲的路程為：(米)，所以甲速度為： (米/分)，則乙速度為：(米/分)．方法二：30分鐘內(nèi)，甲的路程為(米)，乙走的路程為：(米)，因此甲的速度為：(米/分)，乙的速度為：(米/分)．【答案】米/分【例 43】 一輛汽車和一輛摩托車同時從甲乙兩地相對開出，摩托車每小時行千米．汽車每小時行千米．兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進，摩托車到乙地立即返回．汽車到甲地立即返回．兩車在距離中點千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？ 【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 第二次相遇距中點千米，說明兩車共有(千米)的路程差，由此可知兩車共行駛了：(小時)．又因為第二次相遇兩車共走了三個全程，所以走一個全程用(小時)．這樣可以求出甲乙兩地的路程是：(千米)．【答案】千米模塊四、行程間的倍比關(guān)系【例 44】 甲、乙兩車分別同時從、兩地相對開出，第一次在離地95千米處相遇．相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離地25千米處相遇．求、兩地間的距離．【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 畫線段示意圖(實線表示甲車行進的路線，虛線表示乙車行進的路線)可以發(fā)現(xiàn)第一次相遇意味著兩車行了一個、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個、兩地間的距離．當(dāng)甲、乙兩車共行了一個、兩地間的距離時，甲車行了95千米，當(dāng)它們共行三個、兩地間的距離時，甲車就行了3個95千米，即(千米)，而這285千米比一個、兩地間的距離多25千米，可得：(千米)．【答案】千米【鞏固】 甲、乙兩車分別同時從、兩地相對開出，第一次在離地90千米處相遇．相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離地30千米處相遇．求、兩地間的距離？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 第一次相遇意味著兩車行了一個、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個、兩地間的距離．當(dāng)甲、乙兩車共行了一個、兩地間的距離時，甲車行了90千米，當(dāng)它們共行三個、兩地間的距離時，甲車就行了3個90千米，即（千米），而這270千米比一個、兩地間的距離多30千米，可得： (千米)．【答案】 千米【鞏固】 如圖， 、是一條道路的兩端點，亮亮在點，明明在點，兩人同時出發(fā)，相向而行．他們在離點米的點第一次相遇．亮亮到達點后返回點，明明到達點后返回點，兩人在離點米的點第二次相遇．整個過程中，兩人各自的速度都保持不變．求 、間的距離．要求寫出關(guān)鍵的推理過程． 【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】中環(huán)杯【解析】 第一次相遇，兩人共走了一個全程，其中亮亮走了米，從開始到第二次相遇，兩人共走了三個全程，則亮亮走了(米)．亮亮共走的路程為一個全程多米，所以道路長（米）．【答案】米【鞏固】 甲、乙兩車分別同時從、兩地相對開出，第一次在離地千米處相遇．相遇后繼續(xù)前進到達目的地后又立刻返回，第二次在離地千米處相遇．求、兩地間的距離？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 第一次相遇意味著兩車行了一個、兩地間距離，第二次相遇意味著兩車共行了三個、兩地間的距離．當(dāng)甲、乙兩車共行了一個、兩地間的距離時，甲車行了千米，當(dāng)它們共行三個、兩地間的距離時，甲車就行了3個80千米，即（千米），而這240千米比一個、兩地間的距離多20千米，可得：(千米)．【答案】千米【鞏固】 甲、乙二人同時分別從、兩地出發(fā)，相向勻速而行．甲到達地后立即往回走，乙到達地后也立即往回走．已知他們第一次相遇在離，中點2千米處靠一側(cè)，第二次相遇在離地4千米處．、兩地相距多少千米？【考點】行程問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】走美杯，初賽【解析】 如圖所示，兩人第一次相遇，合走一個全程，兩人第二次相遇，合走三個全程．而兩人速度不變，這說明第二次相遇所用的時間是第一次相遇所用時間的3倍．因此，甲在第二次相遇所走的路程是第一次相遇所走路程的3倍．第一次相遇時，甲走了半全程多2千米，那么，第二次相遇時，他應(yīng)該走了3個半個全程多6千米，而實際他走了2個全程差4千米，即4個半個全程差4千米．因此，半個全程長(千米)，、兩地相距(千米)．【答案】千米【例 45】 甲、乙兩輛汽車同時分別從、兩地相對開出，甲車每小時行千米，乙車每小時行千米．甲、乙兩車第一次相遇后繼續(xù)前進，甲、乙兩車各自到達、兩地后， 立即按原路原速返回．兩車從開始到第二次相遇共用小時．求、兩地的距離？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 甲、乙兩車從出發(fā)到第一次相遇共同行完一個間的路程，第一次相遇后繼續(xù)前進，各自到、兩地后，又共同行完一個間的路程．當(dāng)甲、乙兩車第二次相遇時，又共同行完一個間的路程．因此，甲、乙兩車從開始到第二次相遇共行個間的路程．甲、乙速度和：(千米)，個間路程：(千米)，、相距：(千米)．【答案】千米【例 46】 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他．然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【考點】行程問題 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明