【正文】 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽培訓(xùn)問題之探索摘要：數(shù)模建模競(jìng)賽是由美國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)在1985年發(fā)起的一項(xiàng)大學(xué)生競(jìng)賽活動(dòng)，自1989年起我國陸續(xù)有高校參加美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。另外，在講解計(jì)算機(jī)基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，針對(duì)建模特點(diǎn)，結(jié)合典型的建模題型，重點(diǎn)講授一些實(shí)用數(shù)學(xué)軟件的使用及一般性開發(fā)，尤其注意加強(qiáng)講授同一數(shù)學(xué)模型可以用多個(gè)軟件求解的問題。根據(jù)競(jìng)賽題型特點(diǎn)及前參賽獲獎(jiǎng)選手的心得體會(huì)，建議大家多用數(shù)學(xué)軟件（Mathematica，Matlab，Maple，Lindo，Lingo，SPSS 等）設(shè)計(jì)算法，這里列舉常用的幾種數(shù)學(xué)建模算法。答卷（論文）是競(jìng)賽活動(dòng)成績結(jié)晶的書面形式，是評(píng)定競(jìng)賽活動(dòng)的成績好壞、高低，獲獎(jiǎng)級(jí)別的惟一依據(jù)。有目的有計(jì)劃地安排學(xué)生走出課堂到現(xiàn)實(shí)生活中實(shí)地考察，豐富實(shí)際問題的背景知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)收集數(shù)據(jù)和處理數(shù)據(jù)的方法，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力。其次，給出一種基于矢量觀測(cè)信息的自主光學(xué)導(dǎo)航方法。仿真結(jié)果表明，本文多給出導(dǎo)航方法能夠達(dá)到較高的性能指標(biāo)，滿足在危險(xiǎn)區(qū)域?qū)崿F(xiàn)高精度軟著陸的需要。嫦娥三號(hào)將在近月點(diǎn)15公里處以拋物線下降。（2）確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道和在6個(gè)階段的最優(yōu)控制策略。247。R0232。dt=57m/s t242。S運(yùn)用matlab編程解得S=； 其中 ax：水平方向加速度ay：豎直方面加速度a：月球表面重力加速度a= Tx：推力的水平方向分力Ty：推力的豎直方向分力t:主減速段時(shí)間S:嫦娥三號(hào)主減速段水平位移Q:嫦娥三號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)燃料秒消耗率根據(jù)已知資料得到嫦娥三號(hào)著陸過程中緯度改變，經(jīng)度基本不變，月球赤緯和地球緯度一樣也分為南北各90個(gè)分度,，4g 6千米。y162。y122 將(8)、(10)、(11)式聯(lián)立并將A點(diǎn)坐標(biāo)A(0，a)代入可得A點(diǎn)的曲率半徑為b2RA= (12)a根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,遠(yuǎn)日點(diǎn)B的曲率半徑為b2RB=RA= (13)a 由于在A、B兩點(diǎn)行星運(yùn)行速度方向與萬有引力方向垂直,萬有引力只改變速度方向,并不改變速度大小,故分別根據(jù)萬有引力提供向心力得GMmmvA (14) =(ac)2RAGMmmvB (15) =2(a+c)RB將(13)至(15)式聯(lián)立可得 22vA=bGMbGM，vB= acaa+ca 模型一：動(dòng)力學(xué)模型典型的月球軟著陸任務(wù)中,探測(cè)器一般首先發(fā)射到100km的環(huán)月停泊軌道,然后根據(jù)所選定的著陸位置,在合適的時(shí)間給著陸器一個(gè)有限脈沖,使得著陸器轉(zhuǎn)入近月點(diǎn)(在著落位置附近)為15km,遠(yuǎn)月點(diǎn)為100km的月球橢圓軌道,這一階段稱為霍曼轉(zhuǎn)移段。終端條件為實(shí)現(xiàn)軟著陸, 即rf=Rvf=0wf=0其中R為月球半徑,終端條件中對(duì)終端極角qf及終端時(shí)間tf無約束。0fTdt(2)邊界條件：即初始條件和終端條件r(0)=r0,v(0)=v0,m(0)=m0,r(tf)=v(tf)=[000](3)控制約束：考慮發(fā)動(dòng)機(jī)一旦啟動(dòng)不能關(guān)閉，存在最大和最小推力約束0T1TT2(4)狀態(tài)約束：為避免在著陸前撞擊到火星地表，需確保整個(gè)下降段位于火星地平面以上，即rh179。0234。300249。T2ez0[1(zz0)]（10）（11）2狀態(tài)約束：地表約束同式(5)，傾角約束(6)可等效表示為TSy+cy163。R7180。y0249。y1p2234。pnAB234。=234。則(15)可等價(jià)于0249。BL2 234。LA+L+AB+BLA2BABB7(n+1)180。R,f206。著陸器初始位置矢量r0= [1500,600, 800] m，初始速度矢量v0= [30, 10, 40]m/s，傾角qalt=86176。因此，為了研究探測(cè)器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測(cè)器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。假定制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動(dòng)推進(jìn)系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測(cè)器停止月面上。最優(yōu)制導(dǎo)問題的性質(zhì)：1）對(duì)于自治系統(tǒng)（2）的時(shí)間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。這與反證假設(shè)矛盾。只要證明最多只在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)成立即可。對(duì)于方式1）軟著陸起始點(diǎn)即是開機(jī)點(diǎn)；方式2），3）不能實(shí)現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測(cè)器先做無制動(dòng)下降，然后打開發(fā)動(dòng)機(jī)軟著陸到月面。時(shí)，改進(jìn)方法比最優(yōu)（a）（b）問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對(duì)于如下非線性函數(shù)關(guān)系y=f(x1,x2LLxn)（1）可以使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開對(duì)其進(jìn)行線性化，有y+Dy=f+182。f（5）182。=Dv236。uvvr，其中u197。Dr230。(10)231。232。0I246。,X=231。=FX(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達(dá)式：v182。r232。246。r248。246。246。231。rr182。248。3vvT(Irr)(14)332rr230。(rxryrz)=231。rxrz246。0234。rxry234。rxrzr53u197。247。上述誤差決定了軌道誤差協(xié)方差分析的計(jì)算初始條件，表 1 給出了在不進(jìn)行中途軌道修正情況()()下，在地心慣性坐標(biāo)系里，初始軌道位置誤差和初始速度誤差對(duì)軌道終點(diǎn)的位置和速度誤差的影響。由上一目設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可以看出，需要由導(dǎo)航與控制傳感器測(cè)量的量主要為著陸器相對(duì)于著陸場(chǎng)坐標(biāo)系的位置、速度和加速度。~~~~~~圖 1 誤差分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖中所示初始狀態(tài)偏差實(shí)際上是加在相應(yīng)積分器中。這一步稱為標(biāo)準(zhǔn)運(yùn)行。 誤差分析假設(shè)導(dǎo)航系統(tǒng)采用常規(guī)慣性測(cè)量單元，表 1 列出了其典型誤差值，其中，位置誤差能保持在10數(shù)量級(jí)，速度在10數(shù)量級(jí)，加速度為 10g 數(shù)量級(jí)。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。其宗旨是：創(chuàng)新意 識(shí)、團(tuán)隊(duì)精神、重在參與、公平競(jìng)爭。題目有較大的靈活性供參賽者發(fā)揮其創(chuàng)造能力。7）模型應(yīng)用：所建立的模型必須在實(shí)際應(yīng)用中才能產(chǎn)生效益，在應(yīng)用中不斷改進(jìn)和完善。數(shù)學(xué)建模應(yīng)用今天，在國民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)活動(dòng)的以下諸多方面，數(shù)學(xué)建模都有著非常具體的應(yīng)用。報(bào)名方式：如果有分賽區(qū)（每個(gè)賽區(qū)應(yīng)至少有6所院校的20個(gè)隊(duì)參加），就聯(lián)系分賽區(qū)報(bào)名，沒有分賽區(qū)，則直接向主委會(huì)報(bào)名。數(shù)模競(jìng)賽的題目往往是從日常生產(chǎn)生活中提煉、抽象出來的，盡管題目已經(jīng)得到了相當(dāng)程度的簡化，但對(duì)于我們這些仍在學(xué)校里求學(xué)而并未遇到過如此復(fù)雜問題的學(xué)生來說，并不簡單。有的時(shí)候即使自己感覺別人不對(duì)，如果多數(shù)人意見統(tǒng)一了，也最好能同意他人的看法，這需要對(duì)隊(duì)友充分的信任且具備否定自己的魄力。中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽是全國高校規(guī)模最大的課外科技活動(dòng)之一。費(fèi)用：200元/人。一期培訓(xùn)優(yōu)異的同學(xué)，給與二期集訓(xùn)的資格。我們將分為3人/組。在大賽結(jié)束后，做好整理大賽會(huì)場(chǎng)等賽后工作。要通知參賽的選手做好準(zhǔn)備，以免影響了比賽。二期培訓(xùn)持續(xù)到9月初，然后參賽學(xué)生每3人組成一隊(duì)，由一個(gè)老師做指導(dǎo)老師，準(zhǔn)備決賽的到來。培訓(xùn)時(shí)段：第三周——第十六周。（一）、宣傳工作：競(jìng)賽的宣傳和準(zhǔn)備工作，從3月1日開始，我們協(xié)會(huì)宣傳部講開始海報(bào)，畫報(bào)的策劃，張貼宣傳。這次比賽也讓我明白了一個(gè)道理：人的潛能是巨大的，關(guān)鍵是自己怎樣去挖掘。只有真正參加了比賽的同學(xué)，才能體會(huì)到一種與集體融為一體，與數(shù)學(xué)融為一體，與競(jìng)賽融為一體的感覺。第四篇：全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽心得體會(huì)競(jìng)賽心得——談2009年高教杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽心得體會(huì)參加完二○○九年高教杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，感覺只有一個(gè)字——累！三天緊張拼搏的日子已經(jīng)過去，時(shí)間飛快走過的感覺仿佛依舊，充實(shí)忙碌的情景依然時(shí)時(shí)浮現(xiàn)眼前。3 控制與優(yōu)化： 電力、化工生產(chǎn)過程的最優(yōu)控制、零件設(shè)計(jì)中的參數(shù)優(yōu)化，要以數(shù)學(xué)模型為前提。如氣象學(xué)、生態(tài)學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的模型。3）模型構(gòu)成：根據(jù)所做的假設(shè)以及事物之間的聯(lián)系，構(gòu)造各種量之間的關(guān)系,把它問題化4）模型求解：利用已知的數(shù)學(xué)方法來求解上一步所得到的數(shù)學(xué)問題，此時(shí)往往還要作出進(jìn)一步的簡化或假設(shè)?！睆目茖W(xué)，工程，經(jīng)濟(jì)，管理等角度看數(shù)學(xué)建模就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象，簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。 A2:l1=,3=177。180。180。180。1012095180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。180。103S1=180。通過這種方法，可得到一組反映月球軟著陸主制動(dòng)段終端總誤差向量pf和兩個(gè)傳感器誤差向量~vv~~qbc、qbs以及初始狀態(tài)偏差向量pi之間關(guān)系的誤差敏感系數(shù)矩陣。由圖 1 可以看出，為了更準(zhǔn)確地表示傳感器誤差模型，這里考慮了傳感器的動(dòng)態(tài)性能，其傳遞函數(shù)設(shè)為一階慣性環(huán)節(jié)1(1+Ts)，其中，T 為傳感器時(shí)間常數(shù)，因傳感器的不同而取不同值。217。此外，影響制導(dǎo)精度的因素還包括月球自轉(zhuǎn)、月球不規(guī)則攝動(dòng)等誤差，對(duì)它們的研究可單獨(dú)進(jìn)行，這里暫不做介紹。進(jìn)一步根據(jù)式（7），得到協(xié)方差矩陣的迭代方程：TCi+1=PCPiii（21）向月飛行軌道誤差的協(xié)方差分析引起軌道誤差的誤差源主要是導(dǎo)航誤差，包括位 置 誤 差 和 速 度 誤 差。=229。00rz(13)0r3r200249。rxrz234。rx(132)F=234。rz247。231。vvT231。248。246。246。rv233。+231。u197。G=vT=vT231。248。v247。232。231。231。246。Dvamp。若給定各種源誤差，如發(fā)動(dòng)機(jī)安裝誤差、敏感器測(cè)量誤差或發(fā)動(dòng)機(jī)推力和點(diǎn)火時(shí)間等誤差時(shí)，便可以分析其對(duì)目標(biāo)軌道誤差的影響以及對(duì)控制系統(tǒng)精度的影響，進(jìn)一步對(duì)各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫?。xn其中，O(x1LLxn)為x1LLxn的高階項(xiàng)。具體地，令切換函數(shù)為式中各符號(hào)的含義如圖2所示關(guān)機(jī)點(diǎn)可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導(dǎo)律不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點(diǎn)。2）若盾。證明。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡為要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)軟著陸，就是使著陸時(shí)間對(duì)于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標(biāo)可表示為對(duì)于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價(jià)于著陸時(shí)間最優(yōu)問題，性能指標(biāo)為在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個(gè)推力控制程序?qū)⑻綔y(cè)器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，