【正文】 (,()( 212111 babrbfbf ????? . （ 14） 同理將直線段方程 32,ll ,分別代入到函數(shù) ),( yxfZ? 中 ,可得函數(shù) )3,2]。39。39。39。 ?? ibaxxf iii , 令)4,3,2,1(0)(39。39。4,3,2,1)((1 ???? kiafZ iik , ),3,2,11。,[)(( ?? ibaxxf iii , 對它求一階導(dǎo)數(shù)可得 )4,3,2,1]。39。39。 239。1 baxrxfxf ????? ,令 0))(,()( 2239。39。39。,3,2,1)(( njnixfZ iij ?? ??? （ 10） 再求出直線段 ),3,2,1]。39。39。 ?? ,令 0926)(39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。當02 ??ACB 時 , ),3,2,1)(,( ??iyxp ii 不能判定是否是二元函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,它也可能是最值點 。yxyxyxyyxf xyxyxf yx 其中 知二元函數(shù) ),( yxf 的駐點為 )1,2(1p , )1,2(2 ?p , )1,2(3p , )1,2(4 ??p , )0,0(5p .再進一步楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 3 求出 239。239。39。39。byaxlbyyxflaxyxflyyxx??? 解方程組可得到橢圓域邊界上的極值點 ),3,2,1)(,( ??jyxM jjj ,代入函數(shù) ),( yxfZ? 中 ,求得橢圓域邊界上的函數(shù)值 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 5 ).,3,2,1)(,( ??? jyxfZ jjj （ 6） 綜合上述得出橢圓域內(nèi)的函數(shù)值（ 4）和橢圓域邊界上的函數(shù)值（ 5） ,通過比較所得函數(shù)值的大小可得到二元函數(shù) ),( yxf 在橢圓域上的最大值和最小值 . 方法二 :轉(zhuǎn)換法 .將橢圓方程 ],[,12222 aaxbyax ???? ,變形為2222axbby ??? ,代入到二元函數(shù) ),( yxfZ? 中 ,可得到一個一元函數(shù) ],[),(2222 aaxa xbbxfZ ????? ,對這個一元函數(shù)求極值（即二元函數(shù) ),( yxf 在橢圓域邊界上可能的函數(shù)值）得 ).,3,2,1)(,(2222 ????? kaxbbxfZ kkk （ 7） 再求 出 ],[),(2222 aaxa xbbxfZ ????? 的端點值 )0,(1 afZk ? , )0,(2 afZk ? （ 8） 綜合上述橢圓域內(nèi)的函數(shù)值（ 5）和橢圓域邊界上的函數(shù)值（ 7）與（ 8） ,通過比較所得函數(shù)值的大小 可得到二元函數(shù)在橢圓域上的最大值和最小值 . 例 2 求二元函數(shù) 2),( 22 ??? yxyxf 在橢圓區(qū)域 }149|),{( 22 ??? yxyxD 上的最大值和最小值 . 解 由 ????????????}1|),{(,02),(,02),(222239。 ??? yxfC yy .因為當駐點為 )0,0(p 時 , 042 ??? ACB ,所以駐點 )0,0(p 不是二元連續(xù)函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,也就不是最值點 ,故舍去 .對于二元函數(shù) ),( yxf 在橢圓域邊界上的最值 ,我們可用兩種方法來求解 . 1）拉格朗日乘數(shù)法 .設(shè) ]3,3[),149(2 2222 ???????? xyxyxl ?,先對它求一階偏導(dǎo)數(shù) ,再令 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 6 ????????????????????,0149,0212,09222239。 39。39。,[)(( nibaxxf iii ??? ,對它求一階導(dǎo)數(shù)可得 ),2,1]。,3,2,1)((2 nknibfZ iik ?? ??? （ 11） 綜合上述兩種情況得出的函數(shù)值（ 9） ,（ 10）和 (11),通過比較所得函數(shù)值的大小可得到函數(shù) ),( yxf 在 n 邊形區(qū)域上的最大值和最小值 . 例 3 求二元函數(shù) 2212),( yxyxf ??? 在三角形區(qū)域 ?????????????????????.21,033,20,042,10,022xyxxyxxyxD 上的最值 . 解 對函數(shù) ),( yxf 求一階偏導(dǎo)數(shù)之后 ,由 ????? ???? ??? ，Dyxyyxf xyxfyx in t),(,02),( ,02),(39。39。39。,[)(( ??? ibaxxfZ iii , 求得它的最值為 ).,3,2,1。 ?? yxfA xx , yyxfB xy 2),(39。DyxyxfZ yxfZ yy xx 其中 求解方程組可得二元函數(shù)在扇形區(qū)域內(nèi)的駐點 ),3,2,1)(,( ??iyxp iii ,再令 ),(39。 iixyxy yxfZB ?? , ),(39。 ?? ixfi ,可得函數(shù) )4,3,2,1]。 求解方程組可得函數(shù) ),( yxf 唯一的駐點 )0,0(p ,因為 )0,0(p 不在所屬扇形區(qū)域 D 內(nèi) ,故舍去 . 函數(shù) ),( yxf 在曲邊梯形區(qū)域邊界上的最值 ,我們可采用代換法求解 ,將曲線段方程 1l 變形為]1,3[,2 2 ????? xxy ,代入 ),( yxf 中 ,可得函數(shù) ]1,3[,83216)( 2341 ??????? xxxxxf ,對它求一階導(dǎo)數(shù)有 xxxxf 6664)( 2339。4,3,2,1)(( 1 njiixfZ iij ?? ???? （ 18） 其次 ,求出線段 )4,3,2,1( ?ili 的兩個端點值分別為 ),3,2,11。 iiyyyy yxfZC ?? ,同前面在圓域內(nèi)的判別方法一樣 ,將 02 ??ACB 的駐點代入到 ),( yxfZ? 中求出相應(yīng)的函數(shù)值 ).,3,2,1)(,( ??? iyxfZ iii （ 17） 第二部分 ,曲邊梯形區(qū)域邊界上的最值 ,曲邊梯形區(qū)域是由兩條平行的直線段和兩條曲線段（或一條直線段和一條曲線段）圍成的封閉區(qū)域 ,其邊界是有直線段和曲線段共同構(gòu)成 .朗格朗日乘數(shù)法楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 11 就很不容易求解 ,所以我們用轉(zhuǎn)換的思想方法求曲邊梯形區(qū)域在邊界上的最值問題 .首先將邊界線方程分別設(shè)為 )4,3,2,1( ?ili ,把它們代入到函數(shù) ),( yxfZ? 中 ,通過代換可以得到相應(yīng) 的一元函數(shù))4,3,2,1]。 iixxxx yxfZA ?? , ),(39。 ??? ,因為駐點 )2,1(1p , )2,1(2 ?p 都滿足 082 ??? ACB ,所以 )2,1(1p , )2,1(2 ?p 都不是函數(shù) ),( yxf 的極值點 ,即不是最值點 ,故舍去 . 扇形區(qū)域邊界上的最值可采用轉(zhuǎn)換法求解 ,分別令邊界線方程為 ]2,510[,4: 221 ??? xyxl, 楚雄師范學(xué)院畢業(yè)論文（設(shè)計） 10 ]510,0[,03:2 ??? xyxl , ]510,0[,03:3 ??? xyxl .把曲線段 1l 的方程邊形為 22 4