【正文】 ，也就是 衡量 “自適應能力的代價 ”的量度。這是因為在使用LMS 算法時，單個觀測數(shù)據(jù)并不是它期望 值的一個好的近似，從而使得其收斂過程是游弋的。 雖然如此，但是 在均方誤差 J(n)隨著迭代次數(shù) n 的增加 會減小直至消失 。 但是 以上 ， LMS 算法 都 是根據(jù)單個數(shù)據(jù)樣本得對梯度向量各分量的估計， 沒有使用平均值 ， 那么推算出的 梯度估計中 肯定含有 噪聲 成分 [11]，從而 導致 LMS 算法權向量是帶噪聲的，最終權向量 就不可能是 0w ，而是漂移在最優(yōu)值 的 附近，形成了最優(yōu)值上的權向量噪聲。 把這個放在 主軸坐標系中 分析 ，式（ 329）變?yōu)? [ ( 1 ) ] ( 2 ) [ ( ) ]E n I E n? ? ?? ? ? ? （ 330） 則 [ ( ) ] ( 2 ) ( 0 )nE n I? ? ?? ? ? （ 331） 原理分析 ，可得： max10 ? ??? （ 332） 這個就是要讓 LMS 算法權向量期 收斂于最優(yōu)解的前提條件 。 但是 在自適應過程中 ，隨著時間的推移，這個噪聲肯定會衰減的 。所以在自適應過程中的每次迭代，其梯度估計形式可以具體表現(xiàn)為此公式： 2 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) T T TenJ n d n w n x n x n w n d n x n w nw n w n? ?? ??? ? ? ? ? ??? 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )TTx n x n w n d n x n d n x n w n x n e n x n??? ? ? ? ? ??? （ 321） 將（ 321） 代 入（ 320） 中，可得 ： ( 1 ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )w n w n J n w n e n x n???? ? ? ? ? ? （ 322） 式（ 322）就是 稱為 LMS 算法。于是得到 22min 0ddJ ???? （ 314） 由此可以看出： d(n)的方差與 0()dn? 的差值就是等于維納濾波器所得最小均方誤差。這是一個很重要的理論。其本質如下： 已知的 輸入信號 x(n)， 設計 一個線性 離散 濾波器 h(n)對所需的 期望響應 d(n)估計。濾波器結構如圖 27 所示： 9 1Z? 1Z? 1Z?()xn( 1 )xn ?( 2)xn ?( 1 )x n N??0 ()wn1 ()wn2 ()wn 1 ()Nwn???? ()yn性能評估自適應算法 圖 27 橫向型 FIR 自適應濾波器 圖 27 所示的自適應濾波器是現(xiàn)實中最容易實現(xiàn)的。通常是通過調整自適應算法的來改變系數(shù)，而不是去改變?yōu)V波器的結構，因為去改變結構太復雜了。 {}na 圖 23 帶均衡器的數(shù)字通信系統(tǒng) 由圖 23 可知 ，這個加入了均衡器的系統(tǒng)的特性 為 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?wGwGwCwGwH ERT? （ 24） 一般來說，發(fā)射濾波器和接收匹配過濾器的情況來補償信道失真的均衡器的傳輸函數(shù)滿足： ? ? ? ? ? ? ? ?wjE ewCwCwG ???? 11 （ 25） 一般情況下是用濾波器來實現(xiàn)均衡器的 ，用濾波器來補償 信號 的畸變， 所以最后輸出的已經(jīng)是均衡后的 結果， 也就是已經(jīng)避免了碼間串擾 。信道中會存在的干擾一般設置為均值為 0 的高斯白噪聲，接收濾波器是用來接收信號的，并且盡最大可能去排除其他因素的干擾。 信道 一個通信系統(tǒng)， 大概可以分為 可由三大部分組成，分別是發(fā)送設備、信道與接收設備[4]， 其中 信道是有噪聲的，會干擾信號的傳輸，也就是信道不可能完完全全允許一個信號完整的通過，這個媒介在某些方便會限制信號的通過，通常 物理信道 被劃分為 有線 電視 信道和無線 廣播 信道兩大 信道， 有線信道包括同軸電纜以及光纖等 ， 無線信道電波傳播，衛(wèi)星中繼，散射，和移動無線信道 。 第五章 用 MATLAB 對 LMS 算法和 RLS 算法仿真 和解析 。隨著科技的發(fā)展，為了克服這些缺點，人們發(fā)對LMS 自適應算法進行了更加深入的研究 ， 而當今最熱門的研究就是對如何減少相關算法的運算量。頻域均衡適用于傳輸?shù)退俾蕯?shù)據(jù)時，因為頻域均衡在信道特性保持不變；在高速數(shù)據(jù)傳輸中，時域均衡得到廣泛應用，是因為它可以根據(jù)變化的信道特性來調整，從而有效地減小碼間串擾 。 在高速通信、無線通信領域 ，誤碼率會引起信道信號的嚴重失真 ，因此信道均衡技術是使得高速通信成為可能中不可或缺的技術手段。 本文 介紹了 自適應均衡器的 設計原則 ，結合遞歸最小二乘算法和最小均方算法。 ISI（ 碼間串擾 ）是干擾時變 通信質量和 傳輸 速度 的主要因素 。 參考文獻 ............................................................................................................................... 34 附錄 1 .................................................................................................................................... 35 附錄 2 .................................................................................................................................... 37 1 第一章 緒論 均衡器研究背景及意義 隨著科技的 快速發(fā)展， 通信系統(tǒng) 在其中肩負重任 。為了獲 取 信道的統(tǒng)計特性，在自適應均衡技術中，發(fā)端需要固定時間來發(fā)送一個特定的訓練序列 [1]，接收端通過這個訓練尋列就可以使得均衡器的響應特性可以跟隨信道響應特性， 因此 ，均衡器 脈沖 系統(tǒng) 由如上所述， 滿足無碼間干擾的要求。 第二種叫做 自適應均衡器 。如表 11 表 11 自適應技術的發(fā)展 3 近年來，自適應均衡技術更是在生活中無處不在。 （ 2）分析 LMS 算法和 RLS 算法的性能，包括其穩(wěn)定性、收斂速度、穩(wěn)態(tài)誤差，并用 MATLAB 進行仿真 驗證 。 不管是什么信號的傳播，都 可以發(fā)現(xiàn)信道具有以下共同 特性 ： (1)既有 輸入端和輸出端； (2)大部分 信道是線性的，即輸出和輸入量得關系滿足 一定線性函數(shù) [5]， 在特殊情況 下的信道 可能存在非線性 的函數(shù) ； (3)信號通過信道后能量被衰減 ； (4)信號 從 輸入端 到輸出端有一定的時間推遲 ； (5)所有通道都存在噪聲，也就是說信道一開始就存在干擾。下面 以第 k 碼元ka 為例 來討論 。 (2) 閉環(huán)自適應系統(tǒng)： 相對于 開環(huán) 自適應系統(tǒng) ， 輸出量 是由一個適當?shù)姆绞椒祷剌斎氩⑴c過程中的輸入端相比較，是系統(tǒng)自帶的“性能反饋”。這樣的均衡器的收斂過程一般稱為 “學習 ”過程。由前面的章節(jié)可知，自適應濾波器是 通過 最佳濾波器的 研究才得到發(fā)展的 。 獲得教小的 J 才能得到最佳濾波器的系數(shù)值 。 將式子（ 37）進 行整理可得 ? ? ? ?0,0 ( ) ( ) ( ) ( )ii E x n k x n i E x n k d n??? ? ? ? ?? k=0， 1， 2， ... (38) 式中， ? ?( ) ( ) ( )E x n k x n i r i k? ? ? ? 是濾波器輸入 隨機過程中不同時刻輸入之間的自相關函數(shù) ； ? ?( ) ( ) ( )E x n k d n p k? ? ?是濾波器輸入信號 x(nk)與期望響應 d(n)的互相關 。 將 橫向濾波器的抽頭輸入( ) , ( 1 ) , ..., ( 1 )x n x n x n M? ? ?的相關矩陣 定義 為 R，則 ( ) ( )TR E x n x n?????? (316) 式中， ? ?( ) ( ) , ( 1 ) , . . . , ( 1 ) Tx n x n x n x n M? ? ? ?是 抽頭 輸入向量。 15 圖 33 LMS 算法向量信號流圖 圖 33 給出了 LMS 算法的向量信號流圖。下面 分析討論 LMS 算法抽頭權向量的期望值 如何 收斂 的 問題。實際使用中， 通常設置 μ 遠小于 1inMP。 此 外，假定 LMS 算法運行 時 采用一個小收斂因子，并且 和 自適應過程收斂到最優(yōu) 數(shù)量的 權 限 0w 附近， 那么 式（ 337）中的梯度估計 ()Jn? 實際是 趨近于零。為了了解 LMS 算法均方誤差隨著迭代次數(shù)變化的統(tǒng)計規(guī)律，來研究 LMS 算法 [ ( )]EJn 的動態(tài)特性，并將 [ ( )]EJn 隨著迭代次數(shù) n 的變化稱為期望學習曲線。在穩(wěn)定狀態(tài) 下，偏差權系數(shù)的最佳值（即 39。 根據(jù)以上所述，定義自相關矩陣 R 的平均特征值為 1011 []Mav kk tr RMM??????? （ 348） LMS 算法期望學習曲線的平均時間常數(shù) ,mseav? 定義為： 10,1 1 1()Mkmse av mse kM????? ? ， )(平均特征值av? （ 349） 再 根據(jù) av? 的定義可得 , 14mse av av? ??? （ 350） 20 綜合上式可得： Ц,4av mse avMM?? ??? （ 351） 由此，可得出以下結論： ?對于固定的 ,mseav? ，隨 著 濾波器階數(shù) M 的增大， 失調 Ц線性增加； ?失調 Ц正 隨著 收斂因子 μ 的增大而增大 ，平均時間常數(shù) avmse,? 隨著 收斂因子 μ 的增大而 減小 。 RLS 算法導出 這里將討論最小二乘的一種遞歸實現(xiàn)方式。而在 這個 區(qū)間 1 in?? 內(nèi)，橫向濾波器的抽頭權向量 不再發(fā)生變化 。 ( ) ( 1 ) ( ) ( )z n z n x n d n?? ? ? （ 47） 最后推導出最下二乘估計抽頭權向量的時間更新的遞推公式：( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) [ ( ) ( ) ( 1 ) ]TTw n w n g n x n w n g n d n w n g n d n x n w n? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 48） 式中的內(nèi)積 ( 1)Tx wn? ? 是當前時刻 n 的數(shù)據(jù)向量 x(n)利用 n1 時刻的抽頭權向量 ( 1)wn? ? 對 未知的 期望響 應 d(n)的一個揣測 ，因此 ( ) ( 1)Td n x w n???是一個 揣測 誤差，用( 1)enn? 表示。但是當 n 趨于無限大時，偏差將 逐漸 趨于零。 ② 隨著迭代次數(shù) n 越來越大，最后趨于無限時 ，先驗估計誤差 39。 RLS 算法與 LMS 算法的比較 通過前面對 RLS 算法及其性能的介紹，下面將 RLS 算法與 LMS 算法進行比較，可得 25 出： ① 比較 RLS 與 LMS 算法的權向量迭代公式，可以看出 RLS 算法中的增益向量與 LMS 算法中的 ()xn? 的作用相似 ， 但是