【正文】 ∑?? = ??????( ???? ?? ?????)?? 當(dāng)各層樣本量采取比例分配 ( W h =n h /n , f h =f ), 同時 ( n h 1 ) 近似成 n h 時 , 可以簡化為 : b39。 具體的 , 對 Y?的分別回歸估計為 : y?l r s = ∑h = 1LW h y?l r h = ∑h = 1LW h y?h + β h ( X?h x?h ) 對 Y 的分別回歸估計為 : Y＾l r s=N y?l r s =N ∑h = 1LW h y?h+ βh( X?h x?h) = ∑h = 1LN h y?h+ βh( X?h x?h) 如果認(rèn)為各層的回歸系數(shù) β h 是各不相同的 , 則分別回歸估計量通常比較合適。 的方差為： ?YstY Y? Y? ? ? ? ? ?????Lhhst YVYVNYV12 ???Y?? ? ? ???????LhhhLhhh YVNYVWN12122 ??2023/3/26 17 ? 性 質(zhì) 2： 對于分層隨機(jī)抽樣 ， 的方差為： Y?? ? ? ? ???????LhhhhhLhhh SnfNyVNYV12212 1?2023/3/26 18 ? 性 質(zhì) 3： 對于分層隨機(jī)抽樣， 的一個無偏估計為： ? ?YV ?? ? ? ? ???????LhhhhhLhhh snfNyvNYv12212 1?2023/3/26 19 例 ? 調(diào)查某地區(qū)的居民奶制品年消費(fèi)支出 ， 以居民戶為抽樣單元 ， 根據(jù)經(jīng)濟(jì)及收入水平將居民戶劃分為 4層 ， 每層按簡單隨機(jī)抽樣抽取 10戶 ， 調(diào)查獲得如下數(shù)據(jù) （ 單位：元 ） ， 要估計該地區(qū)居民奶制品年消費(fèi)總支 出及其 95%的置信區(qū)間 。2023/3/26 1 第三章 分層隨機(jī)抽樣 概述 簡單估計量及其性質(zhì) 比率估計量及其性質(zhì) 回歸估計量及其性質(zhì) 各層樣本量的分配 總樣本量的確定 分層抽樣的其他 方面 2023/3/26 2 第一節(jié) 概述 2023/3/26 3 定義 分 層隨機(jī)抽樣 （ stratified random sampling） ：如 果每層中的抽樣都是獨立地按照簡單隨機(jī)抽樣進(jìn)行的 ， 那么這樣的分層抽樣稱為分層隨機(jī)抽樣 ， 所得的樣本稱為分層隨機(jī)樣本（ stratified random sample） 。 ?YhYhh L? 1 2, , ,? ?Yst Y?Yst? ? ? ?V Y W V Yst h hhL? ???? 212023/3/26 10 證明性質(zhì) 1 由于對每一層有 因此 ， 估 計量的方差 由于各層是獨立抽取的，因此上式第二項中的協(xié)方 差全 為 0，從而有 ? ? hh YYE ??? ? ? ?????????????LhhhLhhhst YEWYWEYE11???YNYYNYNNYWLhhLhhhLhhh ????? ?????? 11111? ? ? ? ? ?? ???? ???????????? LhLhkkhkhLhhhLhhhst YYC o vWWYVWYWVYV1121?,?2???? ? ? ????Lhhhst YVWYV12 ??2023/3/26 11 ? 性 質(zhì) 3： 對于分層隨機(jī)抽樣 ， 是 的無偏估計 ， 的方差為： Yystyst? ? ? ?V y W V y W fnSst h hhLhhhhhL? ??? ?? ?212 2112023/3/26 12 證明性 質(zhì) 3： 對于分層隨機(jī)抽樣 ， 各層獨立進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣 ，對每一層有 因此 ， 由性質(zhì) 1， 有 由第二章性質(zhì) 2， 得 因此 ? ? ? hh YyE ?? ? YyE st ?? ? ? ????Lhhhst yVWyV12? ? 21 hhhh SnfyV ??? ? ? ?V y W V y W fn Sst h hhLhhhhhL? ? ?? ?? ?212 2112023/3/26 13 ? 性 質(zhì) 4： 對于分層隨機(jī)抽樣 ， 的一個無偏估計為： ? ?V yst? ? ? ?v y W v y W fnsst h hhLhhhhhL? ??? ?? ?212 2112023/3/26 14 證明性 質(zhì) 4： 對于分層隨機(jī)抽樣 ， 各層獨立進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣 ， 由第二章性質(zhì) 3,得 的 無偏估計為： 因此 ， 的一個無偏估計為： ? ?hyV? ? 21 hhhh snfyv??? ?V yst? ? ? ? ???????LhhhhhLhhhst snfWyvWyv12212 12023/3/26 15 二、對總體總量的估計 ? 總體總量 的估計為： ? 如果得到的是分層隨機(jī)樣本，則總體總量的簡單估計為： ????Lhhst YYNY1????Y N y st?Y2023/3/26 16 ? 性 質(zhì) 1： 對于一般的分層抽樣 ， 如果 是 的無偏估計 ， 則 是 的無偏估計 。 2023/3/26 33 ( ) 0hRR??2h x h x hhhy h y hR R S SRSS????( ) 0hRR??2h x h x hhhy h y hR R S SRSS????12x h hhy h hSXSY? ??第四節(jié) 回歸估計量及其性質(zhì) ? 與比估計相似 ， 將回歸估計的思想與技術(shù)用于分層隨機(jī)樣本時 ， 同樣有兩種可行的辦法 : ? 先“回歸”后“加權(quán)” ,此時所得的估計量稱為 分別回歸估計 ； ? 先“加權(quán)”后“回歸” ,這時所得的估計量稱為 聯(lián)合回歸估計 分別回歸估計 ? 定義 分別回歸估計 是指在分層隨機(jī)抽樣中 ,先在每層中對層均值或?qū)涌偤妥龌貧w估計 ,然后再對各層的回歸估計按總體層權(quán)進(jìn)行加權(quán)平均。同理 , Y＾lrc是總體總量 Y 的無偏估計。 如果各層的回歸系數(shù)差別不是太大 , 而且每層的樣本量 n h 不是相當(dāng)大 , 聯(lián)合回歸估計可能更保險一些。 表 3 — 5 某公司職員工資總額調(diào)查數(shù)據(jù) 一般職員層 ( h =1 ) 高管層 ( h =2 ) i x hi y hi i x hi y hi 1 8 000 19 200 1 26 250 64 750 2 16 500 34 800 2 22 750 46 000 3 10 500 22 950 3 20 000 41 500 4 15 550 34 400 4 29 400 80 250 5 18 000 38 350 5 37 500 87 500 6 16 500 37 800 6 23 250 49 625 7 14 250 31 650 7 31 500 79 500 8 13 500 32 550 8 34 200 83 500 9 15 000 36 050 9 33 000 82 250 10 10 200 27 450 10 35 540 85 500 11 15 000 35 750 12 15 750 36 750 13 13 750 33 250 14 21 240 44 875 15 10 750 21 300 注 : x hi 代表第 h 層第 i 個職員剛進(jìn)入公司的工資收入 。 ? 在 比估計 中 ， 當(dāng)各層樣本量都較大時 ， 分別比估計與聯(lián)合比估計近似無偏 ； 當(dāng)某些層的樣本量不夠大 ， 而總樣本量較大時 ,聯(lián)合比估計近似無偏。( 3 ) 與層權(quán) W h 成比例地分配 。 c h 為在第 h 層中抽取一個單元的平均費(fèi)用。 V + ∑h = 1LWhSh2N 代表方差中受各層樣本量 n h 影響的部分。 這時 ， 達(dá)到最小 。 n 1 =nW1S1/ c1∑h = 12WhSh/ ch= 500 505 . 081 328 . 86= 500 0 . 3 8 0 = 1 9 0 . 0 4 3 ≈ 1 9 0 n 2 =nW2S2/ c2∑h = 12WhSh/ ch= 500 824 . 791 328 . 86= 500 0 . 6 2 1 = 310 . 3 3 7 ≈ 3 1 0 ( 3 ) 內(nèi)曼分配。 h 偏離的例子。 由本例也可以看出 , 在最優(yōu)分配中 , 即使 n＾h偏離 n39。 Y?uα / 2 2+1N∑h = 1LWhSh2 ( 3 . 195 ) 2023/3/26 85 ( 3 ) 內(nèi)曼分配 : w h =W h S h / ∑h = 1LW h S h n= ∑h = 1LWhSh 2 r 表 3 — 12 根據(jù)數(shù)據(jù)資料而進(jìn)行相關(guān)的計算 h W h S h ch W h S h c h W h S h / c h W h S h2 w h 1 0 . 511 4 1 . 500 0 3 2 . 301 3 0 . 255 7 1 . 150 7 0 . 607 5 2 0 . 310 5 1 . 800 0 5 2 . 794 5 0 . 111 8 1 . 006 0 0 . 265 6 3 0 . 178 1 1 . 800 0 6 1 . 923 5 0 . 053 4 0 . 577 0 0 . 126 9 總計 1 . 000 0 — — 7 . 019 2 0 . 420 9 2 . 733 7 1 . 000 0 將表中的計算結(jié)果代入到下面的公式 n=∑h = 1L( WhSh ch) 若 nRC,同時還滿足 n≥max (R,C),就可以考慮用試驗設(shè)計的思想來進(jìn)行樣本量的分配。 2023/3/26 97 ? 簡單隨機(jī)樣本 ｎ，事后分層落到第ｈ層的 樣本量 nh ? ? ??????LhhhLh hhhp s t SWNnSWyV12122 1? ? 22111hNh h i hihS Y YN???? ????Lhhhp s t yWy1nh固定并