新人教b版高中數(shù)學(xué)選修1-1函數(shù)的最大值與最小值-文庫吧在線文庫
【正文】 與最小值 , 因此求函數(shù) f(x)的值域 ,可轉(zhuǎn)化為求最值 . 解 : ].)1([)1()( 1111 ???? ??????? pppp xxpxppxxf令 ,則得 xp1=(1x)p1,即 x=1x,x=1/2. 0)( ?? xf而 f(0)=f(1)=1,因為 p1,故 11/2p1. ,21)21(1?? pf所以 f(x)的最小值為 ,最大值為 1. 121?p從而函數(shù) f(x)的值域為 ].1,2 1[ 1?p練習(xí) 2:求函數(shù) f(x)=p2x2(1x)p(p是正數(shù) )在 [0,1]上的最 大值 . 解 : ].)2(2[)1()( 12 xpxxpxf p ????? ?令 ,解得 .22,1,00)(321 pxxxxf ??????在 [0,1]上 ,有 f(0)=0,f(1)=0, ,)2(4)22( 2 ppppf????故所求最大值是 .)2(4 2 ppp ??練習(xí) 1:求函數(shù) f(x)=2x3+3x212x+14在區(qū)間 [3,4]上的最 大值和最小值 . 答案 :最大值為 f(4)=142,最小值為 f(1)=7. 四、實際應(yīng)用 . 在日常生活、生產(chǎn)和科研中 ,常常會遇到求函數(shù)的 最大 (小 )值的問題 .建立目標(biāo)函數(shù) ,然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問題常見的解題思路 . 在建立目標(biāo)函數(shù)時 ,一定要注意確定函數(shù)的定義域 . 在實際問題中 ,有時會遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使 的情形 ,如果函數(shù)在這個點有極大 (小 )值 , 那么不與端點值比較 ,也可以知道這就是最大 (小 )值 . 這里所說的也適用于開區(qū)間或無窮區(qū)間 . 0)( ?? xf滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)” . 例 1:在邊長為 60cm的正 方形鐵皮的四角切去相等 的正方形 ,再把它的邊沿虛 線折起 (如圖 ),做成一個無 蓋的方底箱子 ,箱底邊長為 多少時 ,箱子的容積最大 ?最大容積是多少 ? 解 :設(shè)箱底邊長為 x,則箱高 h=(60x)/ V(x)=x2h=(60x2x3)/2(0x60). 令 ,解得 x=0(舍去 ),x= V(40)= 16000. 02360)( 2 ???? xxxV由題意可知 ,當(dāng) x過小 (接近 0)或過大 (接近 60)時 ,箱子的容積很小 ,因此 ,16000是最大值 . 答 :當(dāng) x=40cm時 ,箱子容積最大 ,最大容積是 16000cm3. 類題 :圓柱形金屬飲料罐的容積一定時 ,它的高與底半徑 應(yīng)怎樣選取 ,才能使所用的材料最省 ? 解
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