【正文】 SSTSSESSRYYeR?????????112222或總變差解釋變差32 我們有：殘差 ， 其中 ， 殘差平方和： ?????????????????? YYeeene...21?? ? βXY )()(2?????????YYYYeee t)β()β( ?? ???? XYXY )β)(β( ?? ?????? XYX ???? ?????????? ββββ XXXYYXYY YXXXXXXYYXYY ???????????? ???? 1)(βββ????? βXYYY YXXYYXYY ?????????? ??? βββ33 而 將上述結果代入 R2的公式 ， 得到： ? ? 2222 YnYYYnYYY ?????? ??這就是決定系數(shù) R2 的矩陣形式。 2R 22 RR ? 22R ?2R? ? )1()1(1 222????????nYYKneR? ????????? 22)1()1(1YYKnen1)1)(1(1??????KnRn36 三 ． 例子 下面我們給出兩個簡單的數(shù)值例子 ， 以幫助理解這兩節(jié)的內(nèi)容 . 例 1 Yt = ?1 + ?2X2 t + ?3X3 t + u t 設觀測數(shù)據(jù)為： Y： 3 1 8 3 5 X2： 3 1 5 2 4 X3： 5 4 6 4 6 試求各參數(shù)的 OLS估計值 ， 以及 。 在這樣一些非線性關系中 ， 有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關系處理 ， 另一些則不能 。 ...,...3322114332221143322211?????????????ZZZYXXZXZXZXXXXY????????該關系即可以重寫為：只需定義45 參數(shù)的非線性是一個嚴重得多的問題 ， 因為它不能僅憑重定義來處理 。 現(xiàn)用這三個變量的對數(shù)重新估計 （ 采用同樣的數(shù)據(jù) ）， 得到如下結果 （ 括號內(nèi)數(shù)字為標準誤差 ） ： 回歸結果表明 ， 需求的收入彈性是 ,需求的價格彈性是 ， 這兩個系數(shù)都顯著異于 0。 假如不給這一約束條件 ， 而是從給定的數(shù)據(jù)中估計該利率水平的值 ， 則模型變?yōu)椋? M = a(r c)b 式中 a,b,c均為參數(shù) 。 2． 用這些參數(shù)值和 X觀測值數(shù)據(jù)計算 Y的各期預測值 （ 擬合 值 ） 。 結論： ?顯著異于 0。 如果 H0為真 ， 則不管 X1, … Xg這 g個變量是否包括在模型中 ， 所得到的結果不會有顯著差別 ， 因此應該有： S ≈ SR 如果 H1為真 ， 則由上一節(jié)中所討論的殘差平方和 ∑e2的特點 ， 無約束回歸增加了變量的個數(shù) ， 應有 S SR 通過檢驗二者差異是否顯著地大 ， 就能檢驗原假設是否成立 。 當然 ， 單個系數(shù)的假設檢驗 ， 如 H0： ?3=， 亦可用 t檢驗統(tǒng)計量進行檢驗 。 故 ))(1()()?()()(1221200CXXCCXXCCVarCuVareVar?????????????????0e 0e?? )( )(000eSeeEe )1,0(~)(1 10 NCXXCe?????73 由于 為未知 ， 我們用其估計值 代替它 ， 有 則 的 95%置信區(qū)間為： （ 其中 ， ） ? )1(? 2 ??? ? kne t?)1(~)(1??100 ???????kntCXXCYY? CXXCtC 1 )(1???????? ??0?? YC ???0Y74 例 用書上 P79例 ， 預測 X2=10， X3=10的 Y值 。 76 例 1：你在研究學歷和收入之間的關系 ， 在你的樣本中 ， 既 有女性又有男性 ， 你打算研究在此關系中 ， 性別是否 會導致差別 。 現(xiàn)引入虛擬變量 D, 將兩式并為一式： 其中 ， ???????????XYuXY21和平時期：戰(zhàn)時：β? uDXY ???? 210 ??? 0 戰(zhàn)時D= 1 平時 78 此式等價于下列兩式： }截距變動 ， 斜率不變 在包含虛擬變量的模型中 ， D的數(shù)據(jù)為 0， 0， 0， 0， 0，1， 1， 1， 1， 1。 四個季度的截距項分別為： ， ， ， 。 對于僅存在變量非線性的模型 ， 可采用重新定義的方法將模型線性化 。1?22??????? ? knXYYYkne t ??21 ?)( ??? XX88 涉及幾個參數(shù)的聯(lián)合假設檢驗的檢驗統(tǒng)計量 F= ～ F（ g， nk1） 其中 SR為有約束回歸的殘差平方和 ， S為無約束回歸 （ 全回歸 ） 的殘差平方和 。Xt () () () () R2 = 其中： Y=人均儲蓄 ， X=人均收入 ， 請檢驗兩時期是否有顯著的結構性變化 。 90 第四章 習題 某經(jīng)濟學家試圖解釋某一變量 Y的變動 。 這種檢驗實際上是檢驗所涉及的解釋變量是否對因變量有影響 。 其方差 協(xié)方差矩陣為 Varcov（ ） =（ X’ X） 1?2 該矩陣主對角線元素為諸 的方差 。 如上例中 ， 相當于檢驗 H0: β 2=β 4=0 81 4． 季節(jié)虛擬變量的使用 許多變量展示出季節(jié)性的變異 (如商品零售額 、 電和天然氣的消費等 )， 我們在建立模型時應考慮這一點 ， 這有兩種方法： （ 1） 在估計前對數(shù)據(jù)進行季節(jié)調(diào)整； （ 2） 采用虛擬變量將季節(jié)性差異反映在模型中 。 上述各例都可以用兩種方法來解決 ， 一種解決方法是分別進行兩類情況的回歸 ， 然后看參數(shù)是否不同 。 這樣一些變動都可以用大家所熟悉的 01變量來表示 ， 用 1表示具有某一 “ 品質(zhì) ” 或?qū)傩?， 用 0表示不具有該 “ 品質(zhì) ” 或?qū)傩?。 當然 ， 要進行預測 ， 有一個假設前提應當滿足 ， 即擬合的模型在預測期也成立 。 結論： X1和 X3對 Y無顯著影響 ? ? ? ? 162522530)1( ???????KnSgSSF R64 3． 全部斜率系數(shù)為 0的檢驗 上一段結果的一個特例是所有斜率系數(shù)均為 0的檢驗 ， 即回歸方程的顯著性檢驗： H0： β 1 =β 2 = … = β K = 0 也就是說 ， 所有解釋變量對 Y均無影響 。 設要檢驗 g個系數(shù)是否為 0， 即與之相對應的 g個解釋變量對因變量是否有影響 。 Y?Y??54 第五節(jié) 假設檢驗 一 ． 系數(shù)的顯著性檢驗 1． 單個系數(shù)顯著性檢驗 目的是檢驗某個解釋變量的系數(shù) β j是否為 0， 即該解釋變量是否對因變量有影響 。 52 四 ． 非線性回歸 模型 Y = a(X c)b 是一個非線性模型 ， a、 b和 c是要估計的參數(shù) 。 對此方程采用對數(shù)變換 logM=loga+blog(r2) 令 Y=logM, X=log(r2), β 1= loga, β 2=b 則變換后的模型為： Yt=β 1+β 2Xt + ut 50 將 OLS法應用于此模型 ， 可求得 β 1和 β 2的估計值 從而可通過下列兩式求出 a和 b估計值： 應當指出 ， 在這種情況下 ， 線性模型估計量的性質(zhì) （ 如 BLUE,正態(tài)性等 ） 只適用于變換后的參數(shù)估計量 ， 而 不一定適用于原模型參數(shù)的估計量 和 。 [注釋 ] 彈性 （ elasticity） ：一變量變動 1%所引起的另一變量變動的百分比： 需求的收入彈性：收入變化 1%， 價格不變時 ， 所引起的商品需求量變動的百分比 。 （ 2） 參數(shù)的線性 因變量 Y是各參數(shù)的線性函數(shù) 。 這與 R2不同 （ ）。 為此 ， 我們定義修正決定系數(shù) （ Adjusted ） 如下： 2R? 2e2R 2R35 是經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。 *? Yc?*?c ucXcuXcYc ????? ??? )(* ????XcuEcXcucXcEE?????)()()(*?? ?*)(E*? IXc ?I27 的方差為： 我們可將 寫成 從而將 的任意線性無偏估計量 與 OLS估計量 聯(lián)系起來 。 由上述結果 ， 我們有 ?????? β)?( XYYX? ??????????? βββ2 XXYXYYS0β)( ????SYXXX ??? ?β YXXX ??? ?? 1)(β18 YXXX ??? ?? 1)(β三 . 最小二乘估計量 的性質(zhì) 我們的模型為 估計式為 1． 的均值 ?β? ?? β? XY uX ?? ?)uβ()( 1 ???? ? XXXX u)(β)( 11 XXXXXXX ?????? ?? u)(β 1 XXX ???? ?19 （ 由假設 3） (由假設 1) 即 這表明 ， OLS估計量 是無偏估計量 。 nIuuE 2, )( ??? ????????????????????????????????22122212121212121..... ......... .......... .......... .......... ...... .......nnnnnnn uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu