【正文】 ??????????????????????109762053813646454251311111YX???????????????????????????????????????????????????????????????410976204/102/382/3110/45810/4510/2671097620129812581551525155)(?11YXXX?39 故回歸方程為： 32?XXY ??? 222?YnYYYnXYR?????? ? ? 41097620??????????????? ?XY? ? 1085381353813 ???????????????????YY40 805 53813522 ??????? ??????Yn ??? ??R )35()(41)1()1)(1(1 22 ????????????knRnR41 例 2. 設(shè) n = 20, k = 3, R2 = 求 。 2R)420( )(191)1( )1)(1(122 ????????????knRnR2R2 10 2 ?? R2R242 第四節(jié) 非線性關(guān)系的處理 迄今為止 ， 我們已解決了線性模型的估計(jì)問題 。 下面我們通過一些例子來討論這個(gè)問題 。 ......22110 ???? XXY ???44 二 ． 線性化方法 對(duì)于線性回歸分析 ， 只有第二種類型的線性才是重要的 ， 因?yàn)樽兞康姆蔷€性可通過適當(dāng)?shù)闹匦露x來解決 。 可是 ， 如果模型的右端由一系列的 Xβ 或 eβ X項(xiàng)相乘 ， 并且擾動(dòng)項(xiàng)也是乘積形式的 ， 則該模型可通過兩邊取對(duì)數(shù)線性化 。 需求的價(jià)格彈性：價(jià)格變化 1%， 收入不變時(shí) ， 所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 )()()( 2 ???? RPXY48 例 2． 柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) 生產(chǎn)函數(shù)是一個(gè)生產(chǎn)過程中的投入及其產(chǎn)出之間的一種關(guān)系 。 21 ?,? ?? 21???)?log ( ???ba21 ?? ?? 和a?b?51 例 4． 上例在確定貨幣需求量的關(guān)系式時(shí) ， 我們實(shí)際上給模型加進(jìn)了一個(gè)結(jié)束條件 。 仍采用對(duì)數(shù)變換 ， 得到 log(Mt) = loga + blog(rt c) + ut t=1,2,… ,n 我們無法將 log(rtc)定義為一個(gè)可觀測(cè)的變量 X, 因?yàn)檫@里有一個(gè)未知量 c。 此模型無法用取對(duì)數(shù)的方法線性化 ， 只能用非線性回歸技術(shù)進(jìn)行估計(jì) ， 如非線性最小二乘法 （ NLS） 。 3．計(jì)算各期殘差，然后計(jì)算殘差平方和 ∑e2。 原假設(shè)： H0： β j=0 備擇假設(shè)： H1： β j≠0 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nK1) )?(?)?(?jjjj????VarSet ??55 單個(gè)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是自由度為 nK1 的 t 統(tǒng)計(jì)量： ～ t(nK1) 其中 ， 為矩陣 主對(duì)角線上第 j+1個(gè)元素 。 (2)檢驗(yàn) ?的顯著性 原假設(shè)： H0： ? = 0 備擇假設(shè)： H1： ? ≠0 由回歸結(jié)果，我們有： t＝ ∵ t＝ ? tc ＝ ， 故拒絕 原假設(shè) H0 。 不失一般性 ，可設(shè)原假設(shè)和備擇假設(shè)為： H0: β 1 =β 2 = … =β g =0 H1: H0不成立 (即 X1, … Xg中某些變量對(duì) Y有 影響 ) 59 分析： 這實(shí)際上相當(dāng)于檢驗(yàn) g個(gè)約束條件 β 1= 0， β 2 = 0， … ， β g = 0 是否同時(shí)成立 。 ? ? 2k110 β?...β?β?? ????? Kttt XXYS61 所使用的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是： ～ F(g, nK1) 其中 ， g為分子自由度 ， nK1為分母自由度 。 注意到 g=K， 則該檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為： ? ?? 2)( YYS R ?????????????? 22t)(eYYYu t 時(shí)，模型為 ?? ? ?)1()()1()(222??????????? ?KneKeYYKnSKSSF R65 分子分母均除以 ， 有 從上式不難看出 ， 全部斜率為 0的檢驗(yàn)實(shí)際是檢驗(yàn) R2的值是否顯著異于 0， 如果接受原假設(shè) ， 則表明因變量的行為完全歸因于隨機(jī)變化 。 1,11,324342???????????????????????????????67 例： CobbDouglas生產(chǎn)函數(shù) Y=AKα Lβ ν 試根據(jù)美國制造業(yè) 18991922年數(shù)據(jù)檢驗(yàn)規(guī)模效益不變的約束： α +β =1 解： （ 1） 全回歸 （ 2） 有約束回歸： 將 約束條件代入， 要回歸的模型變?yōu)椋? Y=AKα L1α ν 為避免回歸系數(shù)的不一致問題， 兩邊除以 L，模型變換為： Y/L=A(K/L)α ν 252)()()(: 2??????FSeRLKY68 回歸 ， 得： 由軟件包可得到約束回歸和全回歸的殘差平方和分別為 SR= S= （ 3） 檢驗(yàn) 原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 備擇假設(shè) H1:α +β ≠ 1 本例中 ， g=1, K=2, n=24 ,)()(:)/log ()/log (2 ????FRSeLKLY? ? ? ? )1( ???????KnSgSSF R69 用自由度 （ 1， 21） 查 F表 ， 5%顯著性水平下 ， Fc= ∵ F= Fc= 故接受原假設(shè) H0:α +β ＝ 1 （ 4） 結(jié)論 我們的數(shù)據(jù)支持規(guī)模收益不變的假設(shè) 。 點(diǎn)預(yù)測(cè)值由與給定的諸 X值對(duì)應(yīng)的回歸值給出 ， 即 而預(yù)測(cè)期的實(shí)際 Y值由下式給出： 其中 u0是從預(yù)測(cè)期的擾動(dòng)項(xiàng)分布中所取的值 。 解： 由例 ： 因此 的 95%置信區(qū)間為： 或 . 14)10()10( ????Y101014/102/382/3110/45810/4510/267)10101()( 1 ???????????????????????????? ? CXXC ?? ?XY 108???YY 1?1?22 ???????????????knXYYYkne t ?? ??0Y75 第七節(jié) 虛擬變量（ Dummy variables） 一 ． 虛擬變量的概念 在回歸分析中 ， 常常碰到這樣一種情況 ， 即因變量的波動(dòng)不僅依賴于那種能夠很容易按某種尺度定量化的變量 （ 如收入 、 產(chǎn)出 、 價(jià)格 、 身高 、 體重等 ） ， 而且依賴于某些定性的變量 （ 如性別 、 地區(qū) 、 季節(jié) ） 。 這種變量在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為 “ 虛擬變量 ” 。 例 2：你在研究某省家庭收入和支出的關(guān)系 ， 采集的樣本中 既包括農(nóng)村家庭 ， 又包括城鎮(zhèn)家庭 ， 你打算研究二者 的差別 。 另一種方法是用全部觀測(cè)值作單一回歸 ， 將定性因素的影響用虛擬變量引入模型 。 估計(jì)結(jié)果如下圖所示： 應(yīng)用 t檢驗(yàn) ， β 2是否顯著 可以表明截距項(xiàng)在兩個(gè)時(shí) 期是否有變化 。 例：設(shè) Y=購買汽車的實(shí)際支出額 X=實(shí)際總消費(fèi)支出 用美國 1973（ 1） 1980(2)的季度數(shù)據(jù) （ 按 1975年價(jià)格計(jì)算 ） ， 得回歸結(jié)果如下： )()(:)( 2????tRXY82 這一結(jié)果很不理想 ， 低 R2值 ， 低 t值 ， X的符號(hào)也不對(duì) 。 所得到的實(shí)際總支出的參數(shù)估計(jì)值 （ ） 是一個(gè)不受季節(jié)變動(dòng)影響的估計(jì)值 。 ?β?j??85 二 、 擬合優(yōu)度 多元線性回歸模型的決定系數(shù)為： R2 = 由于當(dāng)模型增加解釋變量后 ， 殘差平方和的值會(huì)減小 ， 為了使擬合優(yōu)度的測(cè)度反映這一特點(diǎn) ， 可采用經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù) ， 即修正決定系數(shù) ： 222239。 存在參數(shù)非線性的模型 ， 則僅有一部分可通過代數(shù)變換（ 主要是取對(duì)數(shù) ） 的方法將模型線性化 。 檢驗(yàn)單個(gè)系數(shù) βj是否為 0的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 ～ t(nk1） 其中 Var（ ） 為矩陣 主對(duì)角線上第 j+1個(gè)元素 ， 而 n和 k分別是觀測(cè)值數(shù)目和解釋變量的個(gè)數(shù) 。 g為原假設(shè)中約束條件個(gè)數(shù) ， （ 對(duì)于涉及幾個(gè)參數(shù)的顯著性檢驗(yàn) ， g為原假設(shè)中為 0參數(shù)的個(gè)數(shù) ） 。 他收集了 Y和 5個(gè)可能的解釋變量 X1～ X5的觀測(cè)值 （ 共 10組 ） ， 然后分別作三個(gè)回歸 ， 結(jié)果如下 （ 括號(hào)中為 t統(tǒng)計(jì)量 ） ： （ 1） = + R2 = () () （ 2） = + + +