排列組合經(jīng)典例題-文庫吧在線文庫
【正文】 有A種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有A種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有A 某城市街道呈棋盤形，南北向大街5條，東西向大街4條，一人欲從西南角走到東北角，路程最短的走法有多少種．解 無論怎樣走必須經(jīng)過三橫四縱，因此，把問題轉(zhuǎn)化為3個(gè)相同的白球與四個(gè)相同的黑球的排列問題．=35（種） 一個(gè)樓梯共18個(gè)臺(tái)階12步登完，可一步登一個(gè)臺(tái)階也可一步登兩個(gè)臺(tái)階，一共有多少種不同的走法．解 根據(jù)題意要想12步登完只能6個(gè)一步登一個(gè)臺(tái)階，6個(gè)一步登兩個(gè)臺(tái)階，因此，把問題轉(zhuǎn)化為6個(gè)相同的黑球與6個(gè)相同的白球的排列問題．=924（種）． 求（a+b+c）10的展開式的項(xiàng)數(shù)．解 展開使的項(xiàng)為aαbβcγ,且α+β+γ=10，因此，把問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)相同的黑球與10個(gè)相同的白球的排列問題．=66（種） 亞、歐乒乓球?qū)官悾麝?duì)均有5名隊(duì)員，按事先排好的順序參加擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽，直到一方全被淘汰為止，另一方獲勝，形成一種比賽過程．那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？解 設(shè)亞洲隊(duì)隊(duì)員為a1,a2，…,a5,歐洲隊(duì)隊(duì)員為b1，b2，…，b5，下標(biāo)表示事先排列的出場順序，若以依次被淘汰的隊(duì)員為順序．比賽過程轉(zhuǎn)化為這10個(gè)字母互相穿插的一個(gè)排列，最后師勝隊(duì)種步被淘汰的隊(duì)員和可能未參加參賽的隊(duì)員，所以比賽過程可表示為5個(gè)相同的白球和5個(gè)相同黑球排列問題，比賽過程的總數(shù)為=252（種）十二．轉(zhuǎn)化命題法圓周上共有15個(gè)不同的點(diǎn)，過其中任意兩點(diǎn)連一弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少各？分析：因兩弦在圓內(nèi)若有一交點(diǎn)，則該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)以兩弦的四端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓內(nèi)接四邊形，則問題化為圓周上的15個(gè)不同的點(diǎn)能構(gòu)成多少個(gè)圓內(nèi)接四邊形，因此這些現(xiàn)在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有=1365（個(gè)）十三．概率法一天的課程表要排入語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、英語、體育六節(jié)課，如果數(shù)學(xué)必須排在體育之前，那么該天的課程表有多少種排法？分析：在六節(jié)課的排列總數(shù)中，體育課排在數(shù)學(xué)之前與數(shù)學(xué)課排在體育之前的概率相等，均為，故本例所求的排法種數(shù)就是所有排法的，即A=360種十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，（1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個(gè)？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個(gè)？ 解（1）（2）十五．錯(cuò)位排列例20 同室四人各寫一張賀卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的卡片，則不同的分配方法有 種（9）公式 1） n=4時(shí)a4=3(a3+a2)=9種 即三個(gè)人有兩種錯(cuò)排，兩個(gè)人有一種錯(cuò)排．2）=n!(1++…+練習(xí) 有五位客人參加宴會(huì)，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會(huì)結(jié)束后每人戴了一頂帽子回家，回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子，問5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（44） 掌握排列、組合問題的解題策略 （1），特殊元素優(yōu)先安排的策略： （2），合理分類與準(zhǔn)確分步的策略； （3）排列、組合混合問題先選后排的策略； （4）正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的策略； （5）相鄰問題捆綁處理的策略； （6）不相鄰問題插空處理的策略。 例3 在一個(gè)含有8個(gè)節(jié)目的節(jié)目單中，臨時(shí)插入兩個(gè)歌唱節(jié)目，且保持原節(jié)目順序，有多少中插入方法？ 分析：原有的8個(gè)節(jié)目中含有9個(gè)空檔，插入一個(gè)節(jié)目后，空檔變?yōu)?0個(gè)，故有=100中插入方法。分析：（1）個(gè)位和千位有5個(gè)數(shù)字可供選擇，其余2位有四個(gè)可供選擇，由乘法原理：=2402．特殊位置法（2）當(dāng)1在千位時(shí)余下三位有=60，1不在千位時(shí)，千位有種選法，個(gè)位有種，余下的有，共有=192所以總共有192+60=252間接法當(dāng)直接法求解類別比較大時(shí)，應(yīng)采用間接法。 合并單元格解決染色問題 例7 （全國卷（文、理））如圖1，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不 得使用同一顏色，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種（以數(shù)字作答）。3．排列：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.4．排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列數(shù)，用符號(hào)表示.5．排列數(shù)公式： 特別提醒：（1）規(guī)定0! = 1 （2）含有可重元素的排列問題.對(duì)含有相同元素求排列個(gè)數(shù)的方法是：設(shè)重集S有k個(gè)不同元素a1，a2,…...an其中限重復(fù)數(shù)為nn2……nk，且n = n1+n2+……nk , 則S的排列個(gè)數(shù)等于. 例如：已知數(shù)字2，求其排列個(gè)數(shù)又例如：數(shù)字求其排列個(gè)數(shù)？其排列個(gè)數(shù). 6．組合：從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. 7．組合數(shù)公式： 8．兩個(gè)公式：①_ ②特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別.聯(lián)系：都是從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素.區(qū)別：前者是“排成一排”，后者是“并成一組”，前者有順序關(guān)系，后者無順序關(guān)系.(2)典型例題考點(diǎn)一:排列問題例1,六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.
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