【正文】 則 k 的值為 ___4 （無錫市數(shù) 學(xué)期中考試） 1 (本小題滿分 14 分 )已知等差數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn， a1=1+ 2， S3=9+3 2 （ 1）求數(shù)列 {an}的通項 an與前 n 項和 Sn； （ 2）設(shè) nSb nn ?，求證：數(shù)列 {bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列 . 1解：（ 1） ∵ S3=9+3 2， ∴ a2=3+ 2， ∴ d=2…………………………………2 分 ∴ an= 1222)1(21 ??????? nn ， ………………………4 分 nnnnSn 22 )12221( 2 ????????.…………………6 分 （ 2） ∵ 2??? nnSb nn…………………7 分 假設(shè) 數(shù)列 {bn}存在 不同的三項 pb ， qb ， mb 成等比數(shù)列 ∴ 2qb = mp bb? ， …………………9 分 ∴ )2()2()2( 2 ????? mpq ∴ )(2222 mppmqq ????? …………………10 分 ∴??? ??? mpq pmq2 2 ， …………………………………12 分 ∴ 0)( 2 ??mp ，即 mp? 與 mp? 矛盾， ∴ 數(shù)列 {bn}中任意不同的三項都不可能成為等比數(shù)列 .…………………14 分 （無錫市數(shù)學(xué)期中考試） 1 (本小題滿分 16 分 )設(shè)數(shù)列 }{nb 滿足： 211?b， nnn bbb ??? 21 ， （ 1）求證：11111???? nnn bbb； （ 2）若111111 21 ??????? nn bbbT ?，對任意的正整數(shù) n ， 05lo g3 2 ??? mT n 恒成立 .求 m 的取值范圍 . 1 解：（ 1） ∵ ,211?b )1b(bbbb nnn2n1n ?????,∴ 對任意的 0 *, ?? nbNn . ∴ ,1b 1b1)1b(b 1b 1 nnnn1n ??????即1nnn b1b1b 1????.…………4 分 （ 2）111132211211)11()11()11(??? ??????????? nnnnn bbbbbbbbbT ?.…7 分 ∵ ,bb,0bbb n1n2nn1n ????? ?? ∴ 數(shù)列 }b{n 是單調(diào)遞增數(shù)列 . ∴ 數(shù) 列 { nT }關(guān)于 n 遞增 . ∴ 1TTn? .……………………………10 分 ∵ 211?b， ∴ 43)1(112 ??? bbb ∴3212 21 ??? bT……………………………12 分 ∴ 32?nT ∵ 05lo g3 2 ??? mT n 恒成立， ∴ 53log 2 ?? nTm 恒成立， ∴ 3log2 ??m ……………………………14 分 ∴ 810 ??m .……………………………16 分 （無錫市 2022 屆高三上學(xué)期調(diào)研試題） （ 本大題 16 分）設(shè)數(shù)列 {an}是首項為 4，公差為 1 的等差數(shù)列， nS 為數(shù)列 {bn}的前 n 項和， 且 nnSn 22 ?? ． (1)求數(shù)列 {an}及 {bn}的通項公式 na 和 nb ； (2) *,( ) ( 2 7 ) 4 ( )nnanf n k N f k f kbn??? ? ? ????為 正 奇 數(shù) 問 是 否 存 在 使為 正 偶 數(shù)成立？ 若存在，求出 k 的值；若不存在，說明理由； (3) 對任意的正整數(shù) n ，不等式1121 01 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nnanab b b ?????? ? ?恒成立， 求正數(shù) a 的取值范圍． 解：（ I） .314)1(1 ???????? nndnaa n 11221*1 , 3.2 , 2 ( 1 ) 2( 1 ) 2 1.1 , 2 1 ( ) .3 , 2 1.n n nnnnn b Sn b S S n n n n nn b n n Na n b n?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?當(dāng) 時當(dāng) 時當(dāng) 時 上 式 也 成 立所 以 （ II）假設(shè)符合條件的 k(k∈ N*)存在， 由于??? ??? ,12 ,3)( 為正偶數(shù)為正奇數(shù)nn nnnf ∴當(dāng) k為正奇數(shù)時， k + 27為正偶數(shù) 由 ).3(41)27(2),(4)27( ?????? kkkfkf 得 .243,432 ??? kk （舍） 當(dāng) k為正偶數(shù)時， k + 27為正奇數(shù)， 由 ).12(43)27(),(4)27( ?????? kkkfkf 得 即 .726,267 ??? kk （舍） 因此，符合條件的正整數(shù) k不存在 （ III）將不等式變形并把 41 ??? nan 代入得 ).11()11)(11)(11(32 1 321 nbbbbna ?????? ? 設(shè) ).11()11)(11(32 1)( 21 nbbbnng ????? ? .3252 4232 4252 32)11(52 32)( )1( 1 ?? ?????????????? ? nn nnnnnbnnng ng n 又 422 )32()52()32)(52( ???????? nnnnn? ， ).()1(,1)( )1( ngngngng ????? 即 .15 54)311(51)1()(,)( m i n ????? gngnng 故的增大而增大隨 .15540 ??? a （無錫市 2022 屆高三上學(xué)期調(diào)研試題） 1已知等差數(shù)列 {}na 的公差 2,d?? nS 表示 {}na 的前 n 項和，若數(shù)列 {}ns 是遞增數(shù)列，則 1a 的取值范圍是 ? ?2? ??， ． （無錫市 2022 屆高三上學(xué)期調(diào)研試題） 1如圖 是從事網(wǎng)絡(luò)工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型：數(shù)字 1出現(xiàn)在第 1行；數(shù)字 2， 3出現(xiàn)在第 2行；數(shù)字 6， 5， 4（從左至右）出現(xiàn)在第 3行；數(shù)字 7，8， 9， 10出現(xiàn)在第 4行；依此類推．則第 99行從左至右算第 67 個數(shù)字為 4884． （新沂市第一中學(xué) 2022 屆高三上學(xué)期） ??na 的前 5項和 5 25S ? ，且 2 3a ? ，則 7a ? ▲ ． 13； （新沂市第一 中學(xué) 2022 屆高三上學(xué)期） 17. （本小題滿分 14 分） 一個公差不為 0的等差數(shù)列 {}na ，首項為 1，其第 16項分別為正項等比數(shù)列 {}nb 的第 5項 . （ 1）求數(shù)列 {}na 與 {}nb 的通項公式； （ 2）記數(shù)列 {}na 與 {}nb 的前 n 項和分別為 nS 與 nT ,試求正整數(shù) m ，使得 12mST? ； （ 3）求證：數(shù)列 {}nb 中任意三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列 . 17. 解：（ 1）設(shè) ??na 的公差為 d, ∴ 4 1 16 13 , 15a a d a a d? ? ? ? 又 1 1 3 4 5 1 6, , ,b a b a b a? ? ?∴ 23 1 5b bb ∴ ? ? ? ?21 1 13 1 5a d a a d? ? ?,∴ 2199ad d? .∵ 10,d a d??.??????? 2分 ∴ 1, nd a n??. ???????????????? 4分 又 ??nb 的公比為 q, ∴2 3 4114b aq ba? ? ?,而 0nb? ，∴ 0q? ，∴ 2q? ， ∴ 12nnb ?? . ????? 6分 (2) ∵ ? ? 0 1 2 11 , 2 2 2 .. . 2 2 12 nnmnmmST ??? ? ? ? ? ? ? ? 由 12mST? ，∴ ? ? 121 212mm? ??，∴ 2 8190 0mm? ? ?. ∴ 90, 91mm? ? ? (舍 )，∴ 90m? . ?????????? 10分 (3)反證法：假設(shè) ??nb 中存在三項 ,i j kb b b ? ?i j k?? 組成等差數(shù)列，∴ 2 j i kb b b?? ∴ 1 1 12 2 2 2j i k? ? ?? ? ?，（※）∵ i j k??， ,j i N k i N??? ? ? ? ∴ 12 2 1j i k i? ? ???.∵ 12ji?? 是偶數(shù)， 21ki?? 是奇數(shù)，∴等式（※）不成立 . ∴反設(shè)不真 . ∴ ??nb 中不存在三項構(gòu)成等差數(shù)列 . ?????????? 15分 （新沂市第一中學(xué) 2022 屆高三上學(xué)期） 17．已知數(shù)列 {}na 是首項為1 14a?，公比 14q?的等比數(shù)列， 設(shè) *)(log3241 Nnab nn ???，數(shù)列 nnnn bacc ??滿足}{ . （ Ⅰ）求數(shù)列 }{nb 的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列 }{nc 的前 n項和 Sn. 17 解 （ Ⅰ） 由題意知， *)()41( Nna nn ?? ， 又143 log 2nnba??， 故 3 2( *)nb n n N? ? ? （Ⅱ）由（ 1）知， *)(23,)41( Nnnbannn ???? *)(,)41()23( Nnnc nn ????? ,)41()23()41)53()41(7)41(4411 132 nnn nnS ??????????????? ?? 于是 1432 )41()23()41)53()41(7)41(4)41(141 ??????????????? nnn nnS ? 兩式相減，得 132 )41()23(])41()41()41[(34143 ????????? nnn nS ?.)41()23(21 1????? nn 2 3 2 1( ) ( * )3 3 4 nn nS n N?? ? ? ? ? （新沂市第一中學(xué) 2022 屆高三上學(xué)期） {an}的前 n項和為 Sn，對任意 n∈ N*都有 Sn＝ 23an－ 13，若 1Sk9(k∈ N*)，則 k 的值為 ▲ _4_ （新沂市第一中學(xué) 2022 屆高三上學(xué)期） 在等差數(shù)列 ??na 中， 1 2022a ?? ，其前 n 項和為 nS ，若 1012 212 10SS ??，則 2022S 的值等于 ▲ ． 2022－ 2022 學(xué)年度第一學(xué)期江蘇省南通市六所省重點高中聯(lián)考試卷 數(shù) 學(xué) Ⅰ 試 題 若實數(shù)列 1， a， b， c， 4 是等比數(shù)列，則 b 的值為 ▲ 答案： 2 已知數(shù)列 {}nb 滿足 11?b ， xb?2 （ *Nx? ）， *11| | ( 2 , )n n nb b b n n N??? ? ? ?. 若前 100 項中恰好含有 30 項為 0，則 x 的值為 ▲ 答案： 6 或 7 1（本題滿分 16 分）設(shè)數(shù)列 {}na 的前 n 項和為 nS ，滿足 1nnS tS n???( 2n? ， *n?N ， t 為常數(shù) ) ， 且 1 1a? . （ Ⅰ ）當(dāng) 2t? 時，求 2a 和 3a ； （ Ⅱ ）若 { 1}na? 是等比數(shù)列，求 t 的值； （ Ⅲ ）求 nS 解：（ Ⅰ ）因為 2t? 及 1nnS tS n???，得 12nnS S n??? 所以 1 2 1( ) 2 2a a a? ? ?且 1 1a? ，解得 2 3a? 2 分 同理 1 2 3 1 2( ) 2( ) 3a a a a a? ? ? ? ?，解得 3 7a? 4 分 （ Ⅱ ）當(dāng) 3n? 時 ， 1nnS tS n???， 得 12 1nnS tS n??? ? ?， 5 分 兩式相減得： 1 1nna ta ???（ **） 6 分 即 112nna ta ?? ? ? 當(dāng) t＝ 0 時， 12na ?? ，顯然 { 1}na? 是等比數(shù)列 7 分 當(dāng) 0t? 時，令 112n n nb a ta ?? ? ? ?，可得 1 2nnb tb t?? ? ? 因為 { 1}na? 是等比數(shù)列，所以 {}nb 為等比數(shù)列， 當(dāng) 2n? 時， 211n n nb b b????恒成立， 8 分 即 2( 2 )[ ( 2 ) ]nnnbttb t bt??? ? ? ? 恒成立， 化簡得 2( 2) ( 1 ) ( 2 ) 0nt t b t? ? ? ? ?恒成立， 即2( 2)( 1) 0(2 ) 0ttt? ? ??? ???，解得 2t? 綜合上述， 0t? 或 2t?