【正文】 ||nb 的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論； （ Ⅱ ）證明：1 1 2 21 1 1 512nna b a b a b? ? ? ?? ? ?…． 本小題主要考查等差數(shù)列，等比數(shù)列，數(shù)學(xué)歸納法，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行歸納、總結(jié)、推理、論證等能力．滿分 12 分． 解：（Ⅰ）由條件得 21 1 12 n n n n n nb a a a b b? ? ?? ? ?， 由此可得 2 2 3 3 4 46 9 1 2 1 6 2 0 2 5a b a b a b? ? ? ? ? ?， ， ， ， ，． 35 ??? nfn 為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng) ∴ f(n)的最大值為 f(1)=35 ,f(n)的最小值為 f(2)= 95 , 于是，由①式得 95 a53 (λ +18), .1831853 ??????? abb ? 當(dāng) ab? 3a 時(shí)，由－ b18 ? =3a18，不存在實(shí)數(shù)滿足題目要求； 當(dāng) b3a 存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù) n,都有 aSnb,且λ的取值范圍是（－ b18,3a18） . 鄭學(xué)偉 第 13 頁 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) 10.（ 湖南卷 18） .（本小題滿分 12分） 數(shù)列 ? ? 221 2 21 , 2 , ( 1 c o s ) s in , 1 , 2 , 3 , .22n n nnna a a a a n???? ? ? ? ? ?滿 足 (Ⅰ )求 34,aa并求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； (Ⅱ )設(shè) 21122 ,.nn n nnab S b b ba ?? ? ? ? ?證明：當(dāng) 16 2 .nnS n? ? ?時(shí) ， 解 : (Ⅰ )因?yàn)?121, 2,aa??所以 223 1 1(1 c o s ) s in 1 2 ,22a a a??? ? ? ? ? ? 224 2 2(1 c o s ) sin 2 4 .a a a??? ? ? ? ? 一般地，當(dāng) *2 1( N )n k k? ? ? 時(shí)， 222 1 2 1( 2 1 ) 2 1[ 1 c o s ] s in22kkkkaa ? ?????? ? ? ＝ 211ka ? ? ，即 2 1 2 1 ???? 所以數(shù)列 ? ?21ka? 是首項(xiàng)為 公差為 1的等差數(shù)列，因此 ? ? 當(dāng) *2 ( N )n k k??時(shí)， 222 2 2 2( 1 c o s ) s in 2 .22k k kkka a a??? ? ? ? ? 所以數(shù)列 ? ?2ka 是首項(xiàng)為 公比為 2的等比數(shù)列，因此 2 ? 故數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式為**21 , 2 1 ( N ) ,22 , 2 ( N ) .n nn n k kan k k?? ? ? ??? ?? ??? (Ⅱ )由 (Ⅰ )知， 2122 ,2nn na nb a ??? 231 2 3 ,2 2 2 2n nnS ? ? ? ? ? ① 2 2 4 11 1 2 32 2 2 2 2n nnS ?? ? ? ? ? ② ① ②得，2 3 11 1 1 1 1 .2 2 2 2 2 2n nn nS ?? ? ? ? ? ? 21111[1 ( ) ]122 1.1 2 2 212n n nnn???? ? ? ? ?? 所以1122 2 .2 2 2n n n nnnS ? ?? ? ? ? ? 要證明當(dāng) 6n? 時(shí)， 12nS n??成立，只需證明當(dāng) 6n? 時(shí)， ( 2) 12nnn? ?成立 . 證法一 鄭學(xué)偉 第 14 頁 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) (1)當(dāng) n = 6時(shí)，66 ( 6 2 ) 4 8 3 12 6 4 4?? ? ? ?成立 . (2)假設(shè)當(dāng) ( 6)n k k??時(shí)不等式成立，即 ( 2) 1.2kkk? ? 則當(dāng) n=k+1時(shí)，1( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 3 ) 2 2 ( 2 ) ( 2 ) 2kkk k k k k k k kk k k k?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? 由 (1)、 (2)所述，當(dāng) n≥ 6時(shí)，2( 1) 12nn? ?.即當(dāng) n≥ 6時(shí)， 12.nS n?? 證法二 令2( 2 ) ( 6 )2n nn???，則 21 1 2 1( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) 3 2 2nn nnn n n n ncc? ??? ? ? ?? ? ? ? ? 所以當(dāng) 6n? 時(shí)， 1nncc? ? .因此當(dāng) 6n? 時(shí)，6 6 8 3 4 4ncc ?? ? ? ? 于是當(dāng) 6n? 時(shí)，2( 2) ? ? 綜上所述，當(dāng) 6n? 時(shí)， 12.nS n?? 11.（ 陜西卷 22） ．（本小題滿分 14 分） 已知數(shù)列 {}na 的首項(xiàng)1 35a?，1 321nn naa a? ? ?， 12n?， ， ． （Ⅰ）求 {}na 的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）證明：對(duì) 任意的 0x? ，21 1 21 (1 ) 3n naxxx ???????? ??≥， 12n?， ， ； （Ⅲ）證明： 212 1n na a a n? ? ? ? ?． 解法一：（Ⅰ）1 321nn naa a? ? ?，11 2 133nnaa?? ? ?，11 1 1113nnaa???? ? ? ?????， 又 1213na ??， 1 1na????????是以 23 為首項(xiàng)， 13 為公比的等比數(shù)列． ?11 2 1 21 3 3 3nnna ?? ? ?， 332nn na???． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 3 032nn na ???， 鄭學(xué)偉 第 15 頁 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) 21 1 21 (1 ) 3 n xxx ???????? ?? 21 1 2 111 (1 ) 3 n xxx ??? ? ? ? ????? ?? 21 1 1 (1 )1 (1 ) n xx x a??? ? ? ??????? 21 1 2(1 ) 1na x x? ? ??? 2111 nnn aaax??? ? ? ??????na≤， ?原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，對(duì)任意的 0x? ，有 12 2 2 21 1 2 1 1 21 ( 1 ) 3 1 ( 1 ) 3na a a x xx x x x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?≥ 21 1 21 (1 ) 3 n xxx ??? ? ? ????? ?? 221 2 2 21 (1 ) 3 3 3 nn nxxx ??? ? ? ? ? ????? ??． ?取 22111 2 2 2 1 133 113 3 3 313nnnx nnn?????? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??????， 則 2212 111 111133nnnn n na a annn? ? ? ? ? ??? ????????≥． ?原不等式成立． 解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）設(shè)21 1 2() 1 (1 ) 3 nf x xxx ??? ? ????? ??， 則22 2 222( 1 ) 2( 1 ) 21 33()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnx x x xfxx x x? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 0x? ， ?當(dāng) 23nx?時(shí)， ( ) 0fx? ? ；當(dāng) 23nx?時(shí)， ( ) 0fx? ? ， 鄭學(xué)偉 第 16 頁 20201011 延津縣高級(jí)中學(xué) ?當(dāng) 23nx?時(shí)， ()fx取得最大值 2123 1 3 nnnfa???????? ? ． ?原不等式成立． （Ⅲ）同解法一． 12.（ 重慶卷 22） （本小題滿分 12分，（Ⅰ）小問 5分，（Ⅱ）小問 7分 .） 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列 {an}滿足 321 1 22 , ( N * )n a aa a a a n??? ? ?. （Ⅰ）若2 14a?，求 a3， a4，并猜想 a2cos的值（不需證明）； （Ⅱ）記 32 ( N * ) , 2 2n n nb a a a n b? ? ?若對(duì) n≥ 2恒成立，求 a2的值及數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式 . 解： (Ⅰ )因 2122, 2 ,aa ??? 故 3 423 1 23 824 2 32,2.a a aa a a?? ????? 由此有 0 2 2 3( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1 2 3 42 , 2 , 2 , 2a a a a? ? ? ?? ? ? ?，故猜想 na 的通項(xiàng)為 1( 2 ) *2 ( N ).nnan???? （Ⅱ ） 令 2l og , 2 .nSn n n n nx a S x n b??表 示 的 前 項(xiàng) 和 ， 則 由 題設(shè)知 x1=1且 *123 ( N ) 。 12 分 3.（ 四川卷 20） ．（本小題滿分 12 分） 設(shè)數(shù)列