車燈線光源的最優(yōu)設(shè)計數(shù)學(xué)建棋題目-文庫吧在線文庫
【正文】 分 備 注 全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）： 全國評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）： 車燈線光源的最優(yōu)設(shè)計 摘 要 車燈線光源的設(shè)計具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用意義。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處 理。每一種算法的原理都不一樣，層層遞增，一步比一步深入，并分別作圖進(jìn)行比較。 問題分析 顯然在線光源單位長度光通量一定的情況時，要使光源功率最小，線光源的長度也應(yīng)該較小。光照 度是單位面積上所接受的光通量的大小，用來衡量被照明表面明暗程度的物理量。 符號說明 h 車燈的深度， h= f 車燈的焦距 l 線光源的長度 Q 單位長度上線光源的光通量，一個點(diǎn)光源的光通量可以近似記為 Qdl F 一個點(diǎn)光源的光通量大小 F =Qdl I 一個點(diǎn)光源的發(fā)光強(qiáng)度 ， I F4 三、 模型建立及求解： 定理 1： 燈泡的焦距 f =15mm 證明：我們以光軸的正方向?yàn)?x軸，豎直 方向?yàn)?z軸，水平方向 (AC 方向 )為 y 軸，拋物面的頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。最后把每個小面積區(qū)域內(nèi)的“光子”總數(shù)進(jìn)行疊加，就得到了屏上光通量的分布圖，進(jìn)而求出光照度和光強(qiáng)度的分布。 其中 r 是拋物面上的一點(diǎn)到 x 軸的垂直距離，垂 心為 xr θ是以 xr 為圓心， r 為半徑上的圓轉(zhuǎn)過的角度。I=N。 但算法 1 有嚴(yán)重的理論不足之處，它只能反映反射光線在屏上的形狀，而不能很好的反映在屏上的照度變化情況。 有關(guān)計算結(jié)果如下， 入射方向 n1 : r 260 15 , rcos y1 , rsin 0 出射方向 i： 25015 x2, y3 y2 , z3 z2 cos 1 i . n1n1 . ir 22 450 r y1cos900 y1 2 1800 rcos y1 2 r 3 cosy1 r 63600 34 r 4 675 y0 2 r 2 cos 2 t . n2n2 t 25015 x225015 x2 2 y3 y2 2 z3 z2 2 d1 2 i 2 r 43600 r 22 2 ry1cos y1 2 225 d2 2 PM 2 25015 r 260 2 y3 rcos 2 z3 rsin 2 Q r , cos 1d1 2 . cos 2d2 2 Q 即是我們要設(shè)定的權(quán)值，它和 r, 有關(guān)，則照到屏上 M 點(diǎn)的光照度為 E r , I Q r , cos 1d1 2 . cos 2d2 2 . I cos 1d1 2 . cos 2d2 2 . F4 然后我們對 θ ， r 等步長進(jìn)行遍歷，每一補(bǔ)加上相應(yīng)的權(quán)值就可以得到光照度在屏上的分布規(guī)律。其原理是變步長進(jìn)行 d,dr 的遍歷，但每一步所 對應(yīng)小面積上的立體角是相等的。只要 M 足夠大，隨機(jī)方向 P 就可以看成是在空間呈均勻散開的。上面的處理方法也是一種近似方法，可以用數(shù)學(xué)論證嚴(yán)格的推出權(quán)值應(yīng)滿足的規(guī)律。 我們在 Mathematia 中求得了給定點(diǎn)光源 G(15,y1,0)情況下，反射光線斜率 r隨 x0 的變化函數(shù) r 60 x02 27000 x0 1800 x0 2 216000 x0 3 900 y1900 3600 x0 2 y115 x0 30 60 x0 3600 x0 2 120 x0 y1900 3600 x0 2 其中 x0 是拋物線上的點(diǎn)， x∈ [0,],當(dāng) y1 給定了時 r 隨 x0 的函數(shù)圖象是單調(diào)變化的，圖 9 給出的是 y1=3mm的情況（反射點(diǎn)縱坐標(biāo) y00 的圖象，）。因此 l 的上界就不能用上面的方法去判定。極端情況線光源無窮長，超過臨界長度的發(fā)光部分都浪費(fèi)了，射到 B,C點(diǎn)的光強(qiáng)度就十分小，不能滿足題目要求的達(dá)到某一額定值。我們作出了在線光源長度 L=（見圖 11），這即是第二問的答案 四、 模型的進(jìn)一步討論： 前面的模型都是不考慮直射的情況得出來的，實(shí)際上射到屏上的一部分光還有來自于燈泡直射的部分。二次反射在實(shí)際生活中一般是有能量損失的。這樣設(shè)計后的光照度分布是心形形狀。實(shí)際上這種假設(shè)也是合理的，因?yàn)槲覀兘?jīng)計算發(fā)現(xiàn)考慮直射和二次反射對模型幾乎沒什么影響。我們得到的線光源長度雖然不是最優(yōu)解，但已逼近最優(yōu)解，也是很讓人滿意的。 （ 2） 可移植性好，可以推廣到其他類型的曲面。 （ 2）、最大程度上利用了光能的效率。對于本題而言可以不考慮二次反射，但對于焦距比較大的拋物面而言，出現(xiàn)二次反射的機(jī)會增多，就不能不考慮了。 下面我們就來推導(dǎo)一下直射時光照度應(yīng)滿足的規(guī)律 設(shè)點(diǎn)光源 G(15,y1,0) ，所帶光通量為 Qdy1,直射到屏上 AC 方向的坐標(biāo)為M(25015,y3,0) 則該點(diǎn)光源在 M點(diǎn)的光照度為 E I cos d 2 I 25000y3 y1 2 25000 2 32Qdy 14 25000y3 y1 2 25000 2 32 那么線光源在 M 點(diǎn)的光照度就是這些點(diǎn)光源在該點(diǎn)的積分 (y1∈ ]2/,2/[ ll? ) E Ml2l2 Qdy14 25000y3 y1 2 25000 2 32y 1 將這一部分光強(qiáng)也考慮進(jìn)去，我們得到更加合理的線光源長度值 L= 這個
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