有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分-文庫吧在線文庫
【正文】 1, ? ? ? ?? ? ? ? ??x x x xIxx x x x x4 3 25 4 3 22 4 9 10 d.5 2 4 8求=例 2 其中 2( 1 ) d1xxxx????2221 d ( 1 ) 1 1 d2 1 2 1xx xx x x x????? ? ? ???返回 后頁 前頁 21 1 2 2 1l n | 1 | ar c t an .22 33xx x C?? ? ? ? ? ?2221 1 dln | 1 |22 1322xxxx? ? ? ??????? ?????? ???于是 ???1 2 1arc t an .33x C? ? ? ? ? ? ? ?? 211ln | 2 | ln | 2 | ln | 1 |22I x x x xx返回 后頁 前頁 .d)22( 1 222xxx x? ?? ?求例 3 解 由于 222222)22()12(22)22(1??????????xxxxxxxx,)22( 12221 222 ?? ????? xx xxx122d d ( 1 ) ar c t an ( 1 ) ,2 2 ( 1 ) 1xx xCx x x?? ? ? ?? ? ? ???而 返回 后頁 前頁 .)1( d22 1 222 ? ???? ?? t txx? ?2222 2d 2 2 d ( 1 )( 2 2 ) ( 1 ) 1xx xxx x?? ????? ????????2 2 2 22 1 ( 2 2 ) 1dd( 2 2 ) ( 2 2 )xxx x x x? ? ??? ? ? ???2211 ar c t an ( 1 ) ,2 ( 2 2 ) 2x xCxx?? ? ? ???2 2 2 2d 1 d2( 1 ) 2 ( 1 ) 1t t tt t t??? ? ???由遞推公式 返回 后頁 前頁 22 2 213d( 2 2 ) 2 ( 2 2 )xx xx x x x?? ?? ? ? ??于是 3 a r c t a n( 1 ) .2 xC? ? ?返回 后頁 前頁 sin x, cos x 及常數(shù)經過有限次四則運算得到的函 三、三角函數(shù)有理式的不定積分 t a n , ( sin , c o s ) d2xt R x x x? ?通 過 變 換 可 把 化 為有理函數(shù)的不定積分 . 把 ,122t a n12t a n22c o s2s i n2c o s2s i n2s i n2222 ttxxxxxxx??????數(shù) R (sin x, cos x) 稱為三角函數(shù)有理式 . 返回 后頁 前頁 ,112t a n12t a n12c o s2s i n2s i n2c o sc o s22222222ttxxxxxxx?????????22d d( 2 a r c t a n ) d1x t tt?? ?22 2 22 1 2( si n , c os ) d , d .1 1 1ttR x x x R tt t t?? ????? ? ?????代入原積分式，得到 返回 后頁 前頁 d .1 sin c o sxxx求 ???例 4 t a n ,2xt ?令則解 d1 sin c o sxxx???22222d121111tttttt????????d l n 1 l n 1 t an .12tx t C Ct? ? ? ? ? ? ???返回 后頁 前頁 對三角函數(shù)有理式的不定積分 , 在某些條件下還可 ( ii i ) ( , ) ( , ) , t a n .R u v R u v t x? ? ? ?若 可作變換( i ) ( , ) ( , ) , c o s 。 1習題 6 可知 .)()()()()()( 2222 iiiiii yyyxyx ?????? ???????????( ) [ , ] , [ , ]yt ? ? ? ?又 在 上 連 續(xù) 從 而 在 上 一 致 連 續(xù) ,?0 , 0 , ,T? ? ?? ? ?因 此 對 任 意 存 在 當 時( ) ( ) , 1 , 2, , .iiy y i n??? ???? ? ? ??于是 , ? ?2 2 2 21( ) ( ) ( ) ( ) Δni i i i iix y x y t? ? ? ??? ? ? ?? ? ??1( ) ( ) Δ ,ni i iiy y t? ? ????? ? ??返回 后頁 前頁 即 ? ?2 2 2 201li m ( ) ( ) ( ) ( )0,ni i i i i i i i iTix y x y t? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ???????從而 22101l i m ( ) ( ) d .niiTis P P x t y t t???? ???? ? ?? ?返回 后頁 前頁 因此當 f 在 [a, b] 上連續(xù)可微時 , 21 ( ) d .bas f x x????示 ,則 C 又 可 看作 ( ) c o s , ( ) s in , [ , ] .x r y r? ? ? ? ? ? ?? ? ?注 1 若曲線 C 由直角坐標方程 ( ) , [ , ]y f x x a b??表示 ,則 C 亦可看作 , ( ) , [ , ] .x x y f x x a b? ? ?注 2 若曲線 C 由極坐標方程 ( ) , [ , ]rr ? ? ? ? 表??由于 返回 后頁 前頁 ),()()()( 2222 ???? rryx ??????( ) [ , ] , ( ) ( )r r r? ? ? ? ???若 在 上 連 續(xù) 且 與 不 同 時 為 零 ,22( ) ( ) d .s r r?? ? ? ?????則,c os)(s i n)()( ????? rry ????( ) ( ) c o s ( ) s in ,x r r? ? ? ? ??? ??返回 后頁 前頁 解 2( ) 3 c o s s in ,x t a t
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